3 −Resolva, em R , a equação | x 0 0 x | = | 1 0 0 5 | . | 1 0 0 x |.
Soluções para a tarefa
Resposta:
{x=0~~~ou~~~x=1}}
x=0 ou x=1
Explicação passo-a-passo:
Resposta:
\boxed{\bold{x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1}}
x=0 ou x=1
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Devemos encontrar os valores de xx de forma que:
\begin{gathered}\begin{vmatrix}x&0&0&1\\0&x&1&0\\0&x&0&1\\1&0&x&1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}\end{gathered}
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x
0
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
1
0
1
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
2
x
x
2
0
∣
∣
∣
∣
∣
Do lado esquerdo, temos um determinante de ordem 44 . Para calculá-lo, utilizaremos o Teorema de Laplace.
Dada uma matriz A=[a_{ij}]_{n\times n}A=[a
ij
]
n×n
, para n > 1n>1 , afirma-se que seu determinante é dado pela fórmula:
\det A=\displaystyle{\sum_{i,~j}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot\det (D_{ij})
Em que devemos escolher uma fila (linha ou coluna) e calcular a soma dos produtos entre os elementos desta fila e seus cofatores. O determinante \det(D_{ij})det(D
ij
) é formado pelos elementos que restam na matriz original ao retirarmos a linha e coluna respectivas do elemento.
Então, preferencialmente escolhe-se a linha com o maior número de zeros. Escolhendo a coluna j=1j=1 , teremos:
\displaystyle{\sum_{i=0}^4 a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det (D_{1j})
Expanda a soma
a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+a_{31}\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+a_{41}\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})a
11
⋅(−1)
1+1
⋅det(D
11
)+a
21
⋅(−1)
2+1
⋅det(D
21
)+a
31
⋅(−1)
3+1
⋅det(D
31
)+a
41
⋅(−1)
4+1
⋅det(D
41
)
Substituindo os elementos da matriz, teremos:
x\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+0\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+0\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+1\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})x⋅(−1)
1+1
⋅det(D
11
)+0⋅(−1)
2+1
⋅det(D
21
)+0⋅(−1)
3+1
⋅det(D
31
)+1⋅(−1)
4+1
⋅det(D
41
)
Multiplique e some os valores
x\cdot (-1)^{2}\cdot\det (D_{11})+ (-1)^{5}\cdot\det (D_{41})x⋅(−1)
2
⋅det(D
11
)+(−1)
5
⋅det(D
41
)
Calcule as potências
\begin{gathered}x\cdot\det (D_{11})-\det (D_{41})\\\\\\x\cdot\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\0&x&1\\\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}0&0&1\\x&1&0\\x&0&1\\\end{vmatrix}\end{gathered}
x⋅det(D
11
)−det(D
41
)
x⋅
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x
x
0
1
0
x
0
1
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0
x
x
0
1
0
1
0
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Calcule os determinantes utilizando a regra de Sarrus:
x\cdot(-x-x^2)-(-x)x⋅(−x−x
2
)−(−x)
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação
-x^2-x^3+x−x
2
−x
3
+x
Então, calculamos o determinante ao lado direito:
\begin{gathered}\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}=2\cdot0-x^2\cdot x=-x^3\end{gathered}
∣
∣
∣
∣
∣
2
x
x
2
0
∣
∣
∣
∣
∣
=2⋅0−x
2
⋅x=−x
3
Igualando os lados esquerdo e direito, teremos
-x^3-x^2+x=-x^3−x
3
−x
2
+x=−x
3
Some x^3x
3
em ambos os lados da equação
-x^2+x=0−x
2
+x=0
Fatore a equação
x\cdot(1-x)=0x⋅(1−x)=0
Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo
x=0~~~\mathsf{ou}~~~1-x=0x=0 ou 1−x=0
Some xx em ambos os lados da segunda equação
x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1x=0 ou x=1
Estas são as soluções possíveis.