Matemática, perguntado por gabrielsousa6594, 6 meses atrás

3 −Resolva, em R , a equação | x 0 0 x | = | 1 0 0 5 | . | 1 0 0 x |.​

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por arthurnunes44
0

Resposta:

{x=0~~~ou~~~x=1}}

x=0 ou x=1

Explicação passo-a-passo:

Resposta:

\boxed{\bold{x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1}}

x=0 ou x=1

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar os valores de xx de forma que:

\begin{gathered}\begin{vmatrix}x&0&0&1\\0&x&1&0\\0&x&0&1\\1&0&x&1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}\end{gathered}

x

0

0

1

0

x

x

0

0

1

0

x

1

0

1

1

=

2

x

x

2

0

Do lado esquerdo, temos um determinante de ordem 44 . Para calculá-lo, utilizaremos o Teorema de Laplace.

Dada uma matriz A=[a_{ij}]_{n\times n}A=[a

ij

]

n×n

, para n > 1n>1 , afirma-se que seu determinante é dado pela fórmula:

\det A=\displaystyle{\sum_{i,~j}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot\det (D_{ij})

Em que devemos escolher uma fila (linha ou coluna) e calcular a soma dos produtos entre os elementos desta fila e seus cofatores. O determinante \det(D_{ij})det(D

ij

) é formado pelos elementos que restam na matriz original ao retirarmos a linha e coluna respectivas do elemento.

Então, preferencialmente escolhe-se a linha com o maior número de zeros. Escolhendo a coluna j=1j=1 , teremos:

\displaystyle{\sum_{i=0}^4 a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det (D_{1j})

Expanda a soma

a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+a_{31}\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+a_{41}\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})a

11

⋅(−1)

1+1

⋅det(D

11

)+a

21

⋅(−1)

2+1

⋅det(D

21

)+a

31

⋅(−1)

3+1

⋅det(D

31

)+a

41

⋅(−1)

4+1

⋅det(D

41

)

Substituindo os elementos da matriz, teremos:

x\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+0\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+0\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+1\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})x⋅(−1)

1+1

⋅det(D

11

)+0⋅(−1)

2+1

⋅det(D

21

)+0⋅(−1)

3+1

⋅det(D

31

)+1⋅(−1)

4+1

⋅det(D

41

)

Multiplique e some os valores

x\cdot (-1)^{2}\cdot\det (D_{11})+ (-1)^{5}\cdot\det (D_{41})x⋅(−1)

2

⋅det(D

11

)+(−1)

5

⋅det(D

41

)

Calcule as potências

\begin{gathered}x\cdot\det (D_{11})-\det (D_{41})\\\\\\x\cdot\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\0&x&1\\\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}0&0&1\\x&1&0\\x&0&1\\\end{vmatrix}\end{gathered}

x⋅det(D

11

)−det(D

41

)

x⋅

x

x

0

1

0

x

0

1

1

0

x

x

0

1

0

1

0

1

Calcule os determinantes utilizando a regra de Sarrus:

x\cdot(-x-x^2)-(-x)x⋅(−x−x

2

)−(−x)

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

-x^2-x^3+x−x

2

−x

3

+x

Então, calculamos o determinante ao lado direito:

\begin{gathered}\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}=2\cdot0-x^2\cdot x=-x^3\end{gathered}

2

x

x

2

0

=2⋅0−x

2

⋅x=−x

3

Igualando os lados esquerdo e direito, teremos

-x^3-x^2+x=-x^3−x

3

−x

2

+x=−x

3

Some x^3x

3

em ambos os lados da equação

-x^2+x=0−x

2

+x=0

Fatore a equação

x\cdot(1-x)=0x⋅(1−x)=0

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

x=0~~~\mathsf{ou}~~~1-x=0x=0 ou 1−x=0

Some xx em ambos os lados da segunda equação

x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1x=0 ou x=1

Estas são as soluções possíveis.

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