Question

3) Resolva as equações:
a) arcsen(arccos x) = 0
b) arcsen Vx - arccos x =pi/2​

Answer 1

Resposta:

a) x = 1

b) x = 1

Explicação passo-a-passo:

arcsen(arccosx) = 0

Seja arccosx = p ⇒ cosp = x

arcsenp = 0 ⇒ p = sen0 ⇒ p = 0

x = cosp ⇒ x = cos0 ⇒ x = 1

b) arcse√x - arccosx = π/2

Sejam arcsen√x = a e arccosx = b

-π/2 ≤ a ≤ π/2  ⇒ cosa positivo

0 ≤ b ≤ π ⇒ senb positivo

sena =  √x  e  cosb = x

sen²a + cos²a = 1 ⇒ (√x)² + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 - x ⇒ cosa = √(1 - x)

sen²b + cos²b = 1 ⇒ sen²b + x² = 1 ⇒ sen²b = 1 - x² ⇒ senb = √(1 - x²)

a - b = π/2 ⇒ sen(a - b) = senπ/2

aenacosb - senbcosa = 1

√x .x - √(1 - x²).√1 - x) = 1

√x³ - √(1 - x - x² + x³) = 1 ⇒ √x³ - 1 = √(1 - x - x² + x³)

(√x³ - 1)² = √(1 - x - x² + x³)² ⇒ x³ - 2√x³ + 1 = 1 - x - x² + x³

-2√x³ = -x - x² ⇒ 2√x³ = x² + x ⇒ (2√x³)² = (x² + x)²

4x³ = x⁴ + 2x³ + x² ⇒ x⁴ -2x³ + x² = 0 ⇒ x²(x² - 2x + 1) = 0

x² = 0 ⇒ x = 0 ou x² - 2x + 1 = 0

Δ = (-2)² - 4.1.1 = 4 - 4 = 0

x = [-(-2)+0]/2.1 ⇒ x = 2/2 = 1

Verificando

p/x = 0 ⇒ arcsen√0 - arccos0 = π/2 ⇒ 0 - π/2 = π/2 (falso), 0 não serve.

p/x = 1 ⇒ arcsen√1 - arccos1 = π/2 ⇒ π/2 - 0 = π/2 (verdadeiro)

Logo, x = 1