Question

3 questões de probabilidade e estatística.​

Answer 1

Questão 3: Suponha que X seja uma variável aleatória com Distribuição Normal. Se $X \backsim N(100,10)$, então o valor de P(X > 115) será:

Aqui, é dado que a média vale 100 e o desvio padrão vale 10, a probabilidade será dada pela integração da função de densidade de probabilidade Normal (Gaussiana):

$P(X> 115) = \int_{115}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \sigma} \cdot \exp{\left(\dfrac{-(x - \mu)^2}{2 \cdot \sigma^2}\right)} \cdot dx$

Substituindo os valores:

$P(X> 115) = \int_{115}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 10} \cdot \exp{\left(\dfrac{-(x - 100)^2}{2 \cdot 100}\right)}\cdot dx$

Utilizando uma calculadora para calcular essa integração, obterá o seguinte resultado:

$P(X> 115) = 0.066807201268846$

Ou seja, aproximadamente 6.681%.

Questão 4: Através de estudos empíricos, foi identificado que em determinado lugar em Curitiba, no mês de setembro, o volume de chuvas pode ser considerado uma variável aleatória de Distribuição Normal, com média de 20 milímetros e desvio padrão de 4 milímetros. Sendo assim, a probabilidade de que o volume de chuvas, nessa região, no próximo ano, fique entre 11 e 18 milímetros é de:

A ideia é a mesma da questão anterior, a única coisa que vai mudar é o intervalo de integração, a média e o desvio padrão:

$P(11 < X < 18) = \int_{11}^{18} \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 4} \cdot \exp{\left(\dfrac{-(x - 20)^2}{2 \cdot 16}\right)}$

$P(11 < X < 18) = 0.296313066070942$

Aproximadamente, 29,631 %.

Questão 5: O número de quebras mensais do tipo de computador utilizado num escritório é uma variável aleatória com distribuição Poisson com média 4. Encontre a probabilidade de que esse tipo de computador funcione durante 15 dias com pelo menos duas quebras.

Aqui utilizamos a distribuição de Poisson:

$P(X = x) = \dfrac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$

Onde $\lambda$ representa a média e $x$ o número de quebras.

Mas a média dada é para quebras durante um mês. E o requerido é durante 15 dias (metade de um mês). Então podemos supor que a média será metade de 4:

$\lambda = 2$

Assim:

$P(X = x) = \dfrac{e^{-2} \cdot 2^x}{x!}$

Queremos saber a probabilidade de nesses 15 dias termos pelo menos 2 quebras:

$P(X \geq 2)$

Mas, para isso, utilizando o complementar, podemos afirmar que:

$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2)$

Pois a soma de todas as probabilidades precisa ser sempre 1.

Assim:

$P(X \geq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))$

Substituindo:

$P(X \geq 2) = 1 - \left(\dfrac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} +\dfrac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!}\right)$

$P(X \geq 2) = 1 - \left(\dfrac{e^{-2} \cdot 1}{1} +\dfrac{e^{-2} \cdot 2}{1}\right)$

$P(X \geq 2) = 1 - \left(e^{-2} +2 \cdot e^{-2} \right)$

$P(X \geq 2) = 1 - 3 \cdot e^{-2}$

$P(X \geq 2) = 1 - 0.406$

$P(X \geq 2) = 0.59399451$

Ou seja, aproximadamente 59,4%