Question

3) quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?

Answer 1

Resposta:

3.024

Explicação:

As senhas precisam ser diferentes, ou seja, distintas, então:

------             -------               --------               -------     (4 algarismos)

Para o 1º algarismo temos 9 possibilidades, então:

9        .

------             -------               --------               -------

Para o 2º algarismo temos 8 possibilidades, pois não podemos repetir os 9 algarismos anteriores, então:

9        .          8

------             -------               --------               -------

Para o 3º algarismo temos 7 possibilidades, pois não podemos repetir os 8 algarismos anteriores, então:

9        .          8          .           7

------             -------               --------               -------

Para o 4º e último algarismo temos apenas 6 possibilidades, pois não podemos repetir os 7 algarismos anteriores, então:

9        .          8          .           7           .           6

------             -------               --------               --------

Por fim, vamos multiplicar 9.8.7.6 (possibilidades de cada algarismo), temos então:

9.8.7.6 = 3.024 possibilidades de algarismos diferentes (ou distintos)

Answer 2

Resposta:

Poderemos escrever 3.024 senhas, com 4 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos propõe determinar o número de senhas, com 4 algarismos diferentes, que podemos escrever com os algarismos de 1 a 9.

Para a resolução do exercício, nós podemos utilizar tanto o Princípio Fundamental da Contagem, quanto a Fórmula do Arranjo Simples.

Iniciemos, utilizando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que comporão a senha, nós teremos a seguinte situação:

• 9 opções de números para o algarismo das unidades;
• 8 opções de números para o algarismo das dezenas, haja vista que já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e não pode haver repetição de algarismos;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e 1 algarismo na casa das dezenas;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois já foram utilizados 3 algarismos, anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado pela seguinte multiplicação:

$9\times8\times7\times6=72\times48=3.024~senhas$

Uma outra maneira de resolvermos a Tarefa consiste no uso de fórmula de análise combinatória.

Para nós identificarmos qual fórmula utilizar, devemos entender que a ordem dos algarismos é muito importante. Por exemplo, a senha 1234 é diferente da senha 4321, embora tenham sido empregados os mesmos algarismos: 1, 2, 3, 4.

Portanto, a fórmula que iremos empregar é a fórmula do arranjo simples de 9 elementos (algarismos de 1 a 9) para serem agrupados de 4 a 4 (senhas com 4 algarismos diferentes).

Eis o cálculo:

$A_{9,4}=\frac{9!}{(9-4)!}\\A_{9,4}=\frac{9!}{5!}\\A_{9,4}=\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!}\\A_{9,4}=9\times\8\times7\times6\times5\\A_{9,4}=3.024~senhas$

Poderemos escrever 3.024 senhas, com 04 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.