3. Quais dos itens a seguir correspondem às raízes do
polinômio p(x)=x+3x - 11x" - 15x® +46x² - 24x?
a)-3
co
e) 4
g)-4
b) 5
d) 6
f) 1
h) 2
Soluções para a tarefa
Resposta:
Você pode substituir x por cada um destes valores e fazer contas enormes. Se der zero no final, é porque o tal nº é raiz do polinômio dado.
Um outro modo é usar Briot-Ruffini. É o que vou fazer.
-3 | 1 3 -11 -15 46 -24
| 1 0 -11 18 -8 0
Estes dois tracinhos verticais, na realidade, é um único traço vertical.
Depois do traço vertical, os números da 1ª linha são os coeficientes do polinômio e os da 2ª, são obtidos assim:
-abaixa-se o 1º coeficiente, no caso, 1;
-multiplica-se esse nº pela raiz, soma-se com o próximo coeficiente e coloca-se o resultado abaixo dele (1.(-3) + 3 = -3 + 3 = 0)
-multiplica-se o resultado obtido pela raiz, soma-se com o próximo coeficiente e coloca-se o resultado abaixo dele (0.(-3) + (-11) = 0 - 11 = -11)
-segue-se assim até o fim;
-o último nº obtido é o resto da divisão e, se for zero, isto é, divisão exata, significa que o nº, no caso, -3, é raiz do polinômio.
Cada vez que usamos Briot-Ruffini, os números obtidos na linha de baixo, exceto o último, são os coeficientes do quociente (resultado da divisão)
Então, agora, temos x elevado a 5 - 11x³ + 18x² - 8
Para verificar as outra raízes, podemos repetir o processo usando o polinômio dado, ou esse novo polinômio obtido. Vou usar esse novo obtido (dá menos trabalho).
5 | 1 0 -11 18 -8
| 1 5 14 88 432
Como o resto não é zero (é 432), então 5 não é raiz.
6 | 1 0 -11 18 -8
| 1 6 25 168 1000
6 não é raiz
4 | 1 0 -11 18 -8
| 1 4 5 38 144
4 não é raiz
1 | 1 0 -11 18 -8
| 1 1 -10 8 0
1 é raiz
Agora já temos um polinômio de grau menor:
x elevado a 4 + x³ - 10x² + 8x . Vou usá-lo para continuar.
-4 | 1 1 -10 8
| 1 -3 2 0
-4 é raiz
Agora temos outro polinômio de grau menor: x³ -3x² + 2x
Podemos continuar, agora com esse polinômio, e testar o 2. Zero é imediato que é raiz, pois, substituindo x por zero, dá zero, sem problemas com contas.
Mas, vou fazer diferente e obter informações mais precisas. Igualando esse polinômio a zero, temos uma equação que, apesar de ser do 3º grau, é bem simples de ser resolvida.
x³ - 3x² + 2x = 0 ⇒ x(x² - 3x + 2) = 0 ⇒ x = 0 (aqui temos uma raiz que é zero)
ou x² - 3x + 2 = 0 (aqui temos uma equação do 2º grau - vamos resolvê-la)
Δ = b² - 4ac
Δ (-3)² - 4.1.2 = 9 - 8 = 1
x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-(-3) +- √1) / 2.1 = (3 +- 1) / 2
x' = (3 - 1) / 2 = 2/2 = 1
x" = (3 + 1) / 2 = 4/2 = 2
Acabamos de encontrar mais duas raízes: 1 e 2
Como 1 nós já tínhamos, concluímos que 1 é raiz dupla do polinômio dado.
Então já temos todas a raízes do polinômio dado: -4, -3, 0, 1 e 2. Lembrando que 1 é raiz dupla, temos as 6 raízes desse polinômio, pois ele é do 6º grau.
Portanto, os itens que correspondem a raízes de P(x) são: a, c, f, g, h.
Resposta:
também preciso