Question

3 – Os triângulos desenhados abaixo são semelhantes. Determine as medidas dos ângulos α, β e γ

e a medida do lado AC.​

Answer 1

Resposta

a=65 ,b=65,y=10,AC=15 cm =AC.6=18.5 6AC=90,AC=90 o seis e em baixo do noventa depois vem =15

Answer 2

$\alpha = 65\º\\\beta = 65\º\\ \gamma = 70\º\\AC=15\,cm$

O objetivo é descobrir de um a um os valores desconhecidos.

Para isso, precisamos começar com os valores conhecidos e usar os casos da semelhança de triangulo.

Primeiro Passo) Vamos começar com o caso Lado-Ângulo-Lado (LAL) usando os lados AB e BC do triangulo roxo para poder descobrir os lados equivalentes no triangulo amarelo.

No triangulo roxo temos como lados adjascentes ao ponto B (45º)

AB = 27 cm

BC = 18 cm

$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{27 cm}{18 cm} = 1.5$

Já no triangulo amarelo, temos lados adjascentes ao ponto A' (45º)

A'B' = 9 cm

A'C' = 6 cm

$\dfrac{A'B'}{A'C'}=\dfrac{9 cm}{6 cm} = 1.5$

Como o valor de proporção é igual, então descobrimos que os seguintes lados são proporcionais:

AB ~ A'B'

BC ~ A'C'

Segundo Passo) A descoberta da relação entre os lados deixa claro que o angulo $\alpha = \beta$ e que o ângulo $\gamma = 70\º$

Isto é fácil de ver se você recortar o triangulo amarelo, colocar em cima do triangulo roxo de forma que o angulo de 45º do triangulo roxo esteja em cima  do angulo de 45º do triangulo amarelo e que os lados de medida 27 (roxo) e 9 (amarelo) também estejam em cima um do outro.

Ou seja, os lados semelhantes são paralelos (AB com A'B' e BC com A'C')

Terceiro Passo) Descoberta dos ângulos $\alpha$ e $\beta$

Lembrando que 180º é a soma dos angulos internos de qualquer triângulo, descobrimos o angulo alpha pela conta:

$180\º = \alpha + 70\º + 45\º$

$\alpha = 180\º -70\º - 45\º$

$\alpha = 65\º$

Mas lembre que $\beta = \alpha$. Ou seja, $\beta = 65\º$

Assim, encontramos todos os angulos. Resta apenas o lado AC

Quarto Passo) Encontrar o lado AC (roxo)

Usando novamente o "recorte e sobreposição", vemos que o lado AC (roxo) é paralelo ao lado B'C' (amarelo)

Usando a semelhança de lados (LLL), descobrimos o valor de AC ao calcular:

$\dfrac{9}{5}=\dfrac{27}{AC}$

$\dfrac{AC}{1}=\dfrac{27\cdot5}{9}$

$AC=15.0$