Question

3) Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que equidista de P(4, 1) e A(2, 1).

Answer 1

Vamos lá.

Vamos chamar este ponto da bissetriz do 1º quadrante de K(x; y) e vamos encontrar a sua distância ao ponto P(4; 1) e A(2; 1).
Veja que a equação da reta bissetriz do 1º quadrante é dada por y = x.

Agora vamos encontrar as distâncias do ponto K(x; y) da equação da reta bissetriz do 1º quadrante a cada um dos pontos: P(4; 1) e A(2; 1). Depois disso, igualaremos as duas distâncias encontradas, já que elas serão iguais (note que o termo "equidista" quer dizer "tem a mesma distância).
Assim, vamos ver:

i) Distância (d) do ponto P(4; 1) ao ponto K(x; y). Assim

d² = (x-4)² + (y-1)²
d² = x²-8x+16 + y²-2y+1
d² = x²-8x + y²-2y + 17    . (I)

ii) Distância (d) do ponto A(2; 1) ao ponto K(x; y). Assim:

d² = (x-2)² + (y-1)²
d² = x²-4x+4 + y²-2y+1
d² = x²-4x+y²-2y + 5    . (II)

iii) Agora vamos igualar as expressões (I) e (II), pois elas são iguais. Assim:

x²-8x + y²-2y + 17 = x²-4x+y²-2y + 5 ------ passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

 x²-8x + y²-2y + 17 - x²+4x-y²+2y-5 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:

- 4x + 12 = 0
- 4x = - 12 --- ou apenas:
4x = 12
x = 12/4
x = 3 <--- Este deverá ser o valor da abscissa "x" do ponto K(x; y).

Mas, como a reta bissetriz do 1º quadrante é y = x, então "y" deverá ter o mesmo valor que "x", ou seja, deveremos ter que a ordenada "y" será também igual a "3". Assim, o ponto K(x; y) será este:

K(3; 3)  <--- Esta é a resposta. Este é o ponto da reta bissetriz do 1º quadrante, que equidista dos pontos P(4; 1) e A(2; 1) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.