Question

3) O ponto B = (4,y) é equidistante dos pontos A = (5,0) e C = (0,5). Logo, o ponto Be: 3
pontos)
a) 1
b)2
c) 3
d) 4
e) 6​

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Equidistância quer dizer mesma distância, ou seja, conseguimos interpretar que a questão diz que a distância de B para A e de B para C é a mesma, portanto podemos dizer que:

d(BA) = d(BC)

Vamos calcular a distância de A para B e B para C e depois igualar as duas para encontrar o valor de "y".

I) Distâncias

Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos, que é dada por:

$\boxed{d = \sqrt{(x - xo) + (y - yo) {}^{2} } }$

Os elementos x, xo, y e yo simbolizam os valores das abscissas e ordenadas de A, B e C, sabendo disso, vamos organizá-las.

$\begin{cases}A (5,0) \rightarrow \: xa = 5 \: \: \: ya = 0\\B (4,y) \rightarrow xb = 4 \: \: \: \: yb = y\\ C (0,5) \rightarrow xc = 0 \: \: \: \: yc = 5\end{cases}$

Substituindo e calculando:

I.I) Distância AB:

$d \: (ab) = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (y - yo) {}^{2} } \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{(4 - 5) {}^{2} + (y - 0) {}^{2} } \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{( - 1) {}^{2} + (y) {}^{2} } \\ \\ \boxed{d \: (ab) = \sqrt{1 + y {}^{2} } }$

I.II) Distância BC:

$d \: (bc) = \sqrt{(xc - xb) {}^{2 } + (yc - yb) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc ) = \sqrt{(0 - 4) {}^{2} + (5 - y) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{( - 4) {}^{2} + (25 - 10y + y {}^{2} )} \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{(16) + 25 - 10y + y {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{y {}^{2} - 10y + 41 }$

Agora vamos igualar as duas expressões formadas.

$\boxed{d(ab) = d(bc)} \\ \\ \sqrt{ 1+ y {}^{2} } = \sqrt{y { - 10y + 41 }}$

Para cancelar essas raízes, vamos elevar ambos os membros ao quadrado:

$( \sqrt{1 + {y}^{2} } ) {}^{2} = ( \sqrt{y {}^{2} - 10y + 41} ) {}^{2} \\ \\ 1 + \cancel y {}^{2} = \cancel y {}^{2} - 10y + 41 \\ \\ 1 = - 10y + 41 \\ \\ 10y = 41 - 1 \\ \\ 10y = 40 \\ \\ y = \frac{40}{10} \\ \\ \boxed{y = 4}$

Portanto a resposta é a letra d)

Resposta: Letra d).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️