3. O polinômio p(x) - 6x^4 + x^3 - 63x^2 +104x - 48 possui 4 raizes reais, sendo que -4 é a única raiz negativa.
Sabendo que o produto de duas das raízes desse polinômio é -4, a diferença entre as duas maiores raizes é:
A) 1/8
B) 1/6
C) 1/4
D) 1/2
ME AJUDEM!!!!!!!!
Soluções para a tarefa
A diferença entre as duas maiores raizes do polinômio p(x) é: 1/6.
Se -4 é uma raiz, então podemos reescrever o polinômio como:
(x - x').Q = p(x)
(x+4).Q = 6x^4 + x^3 - 63x^2 +104x - 48
Q = (6x^4 + x^3 - 63x^2 +104x - 48)/(x+4)
Dividindo os polinômios, obtemos o novo polinômio Q.
Q = 6x^3-23x^2+29x-12
Se o produto de duas das raízes é -4, então, para ter dado negativo, o -4 foi multiplicado. Logo, a outra raiz é 1, pois 1.(-4) = -4. Dividindo o polinômio Q por (x-1), obtemos o polinômio S.
(x-1).S = 6x^3-23x^2+29x-12
S = 6x^2-17x+12
Agora, com esse resultado, fatoramos o polinômio do segundo grau.
Δ = (-17)² - 4.(6).(12)
Δ = 1
x' e x'' = -b ± 1/ 2a
x' = 17 + 1/12 => x' = 3/2 = 1,5
x'' = 16/2.6 => x'' = 4/3 = 1,333...
Logo, as maiores raízes dentre {1, 3/2, 4/3, -4} são essas acima. Assim, sua subtração vale:
3/2 - 4/3 = 9/6 - 8/6 = 1/6
Resposta: B)