Question

3) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 2√6 cm. Determine a medida da altura do triângulo, do raio da circunferência, da área do triângulo e da área da circunferência.

Answer 1

Resposta:

No triângulo altura e área são:

$\boxed{h_T= 3\sqrt{2}\ cm}\\\\\boxed{S_T= 6\sqrt{3}\ cm^2}$

Na circunferência o raio e a área são:

$\boxed{r=2\sqrt{2}\ cm}\\\\\boxed{S_C= 8\pi\ cm^2}$

Explicação passo-a-passo:

Lado do triângulo equilátero= 2√6 cm.

Altura do triângulo = ?

Área do triângulo = ?

Como este é um triangulo equilátero achamos a sua altura, dividindo qualquer um dos lados ao meio até encontrar o vértice oposto. Fazendo isto formamos um triângulo retângulo de lados l , l/2 e h. agora podemos calcular a altura e  área aplicando Pitágoras.

$l^2=(\dfrac{l}{2})^2+h^2\\h^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}\\\dfrac{4h^2}{4}=\dfrac{4l^2}{4}-\dfrac{l^2}{4}\\4h^2=4l^2-l^2\\h^2=\dfrac{3l^2}{4}\\h=\sqrt{\dfrac{3l^2}{4}}\\\\\boxed{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\\S_T=\dfrac{l\ .\ h}{2}\\\\S_T=\dfrac{l\ .\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}{2}\\\\\\S_T=\dfrac{l^2\ .\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\\\\\S_T=l^2\ .\dfrac{\sqrt{3}}{2}}.\dfrac{1}{2}\\\\\\S_T=\dfrac{l^2\ .\sqrt{3}}{4}\\\\\boxed{S_T=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}}$

substituindo-se l pelo valor obtemos:

$h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\\\\\\h=\dfrac{2.\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\not2.\sqrt{6}.\sqrt{3}}{\not2} = \sqrt{6}.\sqrt{3}=\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\\\\\\\boxed{h= 3\sqrt{2}\ cm}\\\\S_T=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\\\\S_T=\dfrac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{2^2.\sqrt{6}^2.\sqrt{3}}{4} = \dfrac{4\ .\ 6\ .\sqrt{3}}{4}= \dfrac{\not4\ .\ 6\ .\sqrt{3}}{\not4} = 6\sqrt{3}\\\\\boxed{S_T= 6\sqrt{3}\ cm^2}$

Circunferência:

A distância até o centro da circunferência (raio) corresponde a 2/3 da altura do triângulo, portanto:

$r= \dfrac{2}{3}\ .\ 3\sqrt{2}=\dfrac{2}{\not3}\ .\ \not3\sqrt{2} =2\sqrt{2}\\\\\boxed{r=2\sqrt{2}\ cm}\\\\S_C= \pi\ .\ r^2\\S_C= \pi\ .\ (2\sqrt{2})^2 = \pi\ .\ 2^2\ .\ \sqrt{2}^2 = \pi\ .\ 4\ .\ 2= 8\pi\\\\\boxed{S_C= 8\pi\ cm^2}$

${\begin{center}\fbox{\rule{1ex}{2ex}\hspace{20ex}{#ESPERO TER AJUDADO !}\hspace{20ex}\rule{1ex}{2ex}}}{\end{center}}$