Question

3. Num triângulo retângulo ABC, as medidas dos catetos correspondem às medidas do lado e do apóte ma de um triângulo equilátero inscrito numa circunfe rência de raio 10 cm. Nessas condições, a medida, em cm, da hipotenusa do triângulo ABC é:

Answer 1

Sabendo que a altura (apótema) desse triângulo equilátero inscrito na circunferência obedece a seguinte proporção:

h/3 = r/2

h = 15cm

Para descobrir o lado, podemos utilizar trigonometria:

tg 60° = h/L/2

L = 2h/tg60°

Sabendo que tg60° = $\sqrt{3}$, temos que:

$L = 2H\frac{1}{\sqrt{3}} = L = \frac{2H\sqrt{3}}{3}$

$L = \frac{2*15\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$

(Podemos facilmente pular essa etapa sabendo que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência é igual a: $L = r\sqrt{3}$, onde r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo)

Sabemos que o apótema (h) e o lado do triângulo equilátero inscrito são catetos de um triângulo retângulo, ou seja, a hipotenusa pode ser calculada da seguinte maneira:

$H^{2} = h^{2} + L^{2}$

$H^{2} = 15^{2} + (10\sqrt{3})^{2}$

$H = \sqrt{225 + 300} = \sqrt{525}$

$H = 5\sqrt{21}$

Espero ter ajudado.

Resposta: $H = 5\sqrt{21}$