Question

3)Nós podemos por meio da derivada calcular taxas relacionais. Sabendo que a área A de um círculo está relacionada com seu diâmetro pela equação A=r sobre 4 d2, determine por meio da derivada, a que taxa aproximadamente, a área varia em relação ao diâmetro quando ele é igual a 5 m?Alternativas: a) 2,5 b) 5 c)7,5 d) 9 qual e a resposta?

Answer 1

Vou chamar o diâmetro do círculo de x

$A=\dfrac{\pi}{4}x^{2}$

Derivando implicitamente em relação ao diâmetro:

$\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{4}x^{2}\right)\\\\\\\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{d}{dx}x^{2}\\\\\\\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{\pi}{4}2x\\\\\\\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{\pi}{2}x$

Como x = 5 m:

$\dfrac{dA}{dx}=\dfrac{\pi}{2}\cdot5=\dfrac{5}{2}\pi=2,5\pi$

Aproximando π = 3:

$\dfrac{dA}{dx}\approx2,5\cdot3\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dA}{dx}\approx7,5~\dfrac{m^{2}}{m}}}$

Letra C