Question

3 meninos brincam com o jogo Word. Eles escreveram 10 palavras cada um. Cada participante ganha 3
pontos por palavra quando somente ele a escreveu, ganha 1 ponto se apenas mais um menino a escreveu e
não ganha nada se os outros 2 meninos também a escreveram. Quando foram conferir seus pontos, viram que
não havia resultados iguais. Samuel fez 19 pontos, o menor resultado. Jacinto foi o vencedor. Quantos pontos
fez Jacinto?
(A) 20 (B) 21 (C) 23 (D) 24 (E) 25

Answer 1

Resposta:

C) 23

Explicação:

Answer 2

Jacinto fez 25 pontos, alternativa (E).

Para descobrir quantos pontos fez Jacinto nesse jogo Word, podemos equacionar o problema. Para isso, primeiramente definimos as variáveis:

• u: número de palavras únicas escritas pelo Samuel.
• d: número de palavras iguais a outro jogador escrita por Samuel.
• t: número de palavras iguais a outros dois jogadores escritos por Samuel.

Logo, a seguintes equação calcula o resultado dos pontos obtidos por Samuel:

3u + 1d + 0t = 19

Fazendo uma rápida verificação da solução dessa equação para u, d e t naturais e lembrando que u + d + t = 10, tem-se:

• u = 6, d = 1 e t = 3;   ou
• u = 5, d = 4 e t = 1

Essas são as únicas possíveis soluções.

Trabalharemos com cada uma delas.

⇒ Caso 1 (u = 6, d = 1 e t = 3)

Com t = 3, 3 foram as palavras iguais escritas pelos 3 participantes.

Como d = 1, então Samuel escreveu uma palavra igual ao do Jacinto ou ao terceiro participante não identificado. Dessa forma, consideremos os dois subcasos:

• Samuel escreveu uma palavra igual ao do Jacinto.

      Assim, a pontuação de Jacinto foi :

                 3 . (nº de palavras únicas dele) + 1 . (1) + 0 . (3) 

      Contudo, Jacinto também escreveu 10 palavras, logo:

                (nº de palavras únicas dele) + 1 + 3 = 10 ⇒

                             nº de palavras únicas dele = 6

         

      Dessa forma, Jacinto fez 3 $\cdot$ (6) + 1 = 19 pontos

     

Observe, no entanto, que isso é impossível, pois pelo enunciado não haviam resultados iguais. Logo, descartamos essa hipótese.

• Samuel escreveu uma palavra igual ao do participante não identificado.

      Nesse caso, a pontuação de Jacinto foi :

                 3 . (nº de palavras únicas dele) + 1 . (0) + 0 . (3)

      Sabendo que Jacinto escreveu 10 palavras, logo:

                (nº de palavras únicas dele) + 0 + 3 = 10 ⇒

                             nº de palavras únicas dele = 7

         

      Dessa forma, Jacinto fez 3 $\cdot$ (7) =  21 pontos

      Acontece, porém, que se isso é verdade, o jogador não identificado também faz 19 pontos:

                 3 $\cdot$ (nº de palavras únicas dele) + 1 . (1) + 0 . (3) 

      Sabendo que também escreveu 10 palavras:

                (nº de palavras únicas dele) + 1 + 3 = 10 ⇒

                             nº de palavras únicas dele = 6

         

      Dessa forma, 3 $\cdot$ (6) + 1 = 19 pontos

Ou seja, também é inválida essa hipótese.

⇒ Caso 2 (u = 5, d = 4 e t = 1)

Com t = 1, 1 palavra igual foi escrita pelos 3 participantes.

Como d = 4, então Samuel escreveu palavras iguais ao do Jacinto ou ao terceiro participante não identificado. Como sabemos que Jacinto foi o vencedor, repartiremos de forma que Samuel tenha 3 palavras iguais ao do participante não identificado e apenas 1 igual ao do Jacinto. (Experimente testar outros casos e constatar que o fato dos resultados finais ser diferentes não se verifica)

Finalmente:

Samuel:

• 5 palavras únicas, 4 comuns a um dos outros participantes e 1 comum aos três:

                               3 . (5) + 1 . (4) + 0 . (1) = 19 pontos

Jogador não identificado:

• 6 palavras únicas, 3 comuns com Samuel e 1 comum aos três:

                                3 . (6) + 1 . (3) + 0 . (1) = 21 pontos

Jacinto:

• 8 palavras únicas, 1 comum com Samuel e 1 comum aos três:

                               3 . (8) + 1 . (1) + 0 . (1) = 25 pontos

Jacinto fez 25 pontos, alternativa (E)

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