Question

3.(log 8 x)^2 +3= 10.log8x

Answer 1

Resolvendo a equação logarítmica proposta, encontramos dois valores que a satisfazem, x₁ = 2 ∨ x₂ = 512. Assim o conjunto solução dessa eq. é S = {2 ; 512}.

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Veja que a equação dada abaixo é muito parecida com uma equação quadrática na forma ax² + bx + c = 0:

                         $\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}3\cdot(\ell og\:\!_8\,x)^2+3=10\cdot\ell og\:\!_8\,x\end{array}}$

Dessa forma, pensei em usar um artifício pra encontrar o valor de x. Consiste em trocar o logaritmo por uma letra, tornando-se assim numa equação do 2º grau. Nesse caso vou fazer a substituição pela letra k, $\boldsymbol{\!\ell og\:\!_8\,x=k\!}$:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~~3\cdot(\ell og\:\!_8\,x)^2+3=10\cdot\ell og\:\!_8\,x\\\\\iff~~3\cdot(k)^2+3=10\cdot k\\\\\iff~~3k^2+3=10k\\\\\iff~~3k^2-10k+3=0\end{array}}$

Dentre os vários métodos para resolver essa eq., estarei fazendo por fatoração por ser mais rápido:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~~3k^2-10k+3=0\\\\\iff~~3k^2-9k-k+3=0\\\\\iff~~3k\cdot(k-3)-1\cdot(k-3)=0\\\\\iff~~(3k-1)\cdot(k-3)=0\\\\\iff~\,\begin{cases}3k-1=0~\Leftrightarrow~k_1=\dfrac{1}{3}\\\\k-3=0~\,~\Leftrightarrow~k_2=3\end{cases}\end{array}}$

Agora que obtemos as raízes daquela equação, vamos devolver a substituição, tomando  $\boldsymbol{\!\ell og\:\!_8\,x=k_1\,\vee\,k_2\!}$:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\implies~~\begin{cases}\ell og\:\!_8\,x=k_1\\\\\ell og\:\!_8\,x=k_2\end{cases}\\\\\iff~\begin{cases}\ell og\:\!_8\,x=\dfrac{1}{3}\\\\\ell og\:\!_8\,x=3\end{cases}\end{array}}$

Pela definição de logaritmo, temos que $\boldsymbol{\!\ell og\:\!_x\,y=z~\Leftrightarrow~y=x^z\!}$, assim:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\iff~\begin{cases}x=8^{1/3}\\\\x=8^3\end{cases}\\\\\iff~\begin{cases}x=(2^3)^{1/3}\\\\x=8\cdot8\cdot8\end{cases}\\\\\iff~\begin{cases}x=2^1\\\\x=512\end{cases}\\\\\iff~\begin{cases}x_1=2\\\\x_2=512\end{cases}\end{array}}$

Como x está no logaritmando, e a Condição de Existência dos logaritmos diz que o logaritmando deve ser positivo, então os valores encontrados de x₁ ou de x₂ satisfazem a equação. Dessarte, o conjunto solução da equação proposta abriga dois únicos valores verdadeiros:

                                     $\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\therefore~~\boxed{S=\big\{2~~;~~512\big\}}\end{array}}$

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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