Question

3 - (Ind 3.3) DETERMINE os pontos de intersecção da circunferência de equação x2 + y2 =
25 com a reta de equação x + 2y = 5. (Valor: 3 pontos)

Answer 1

Resposta:

Ponto A = ( 5 ; 0 )     e   Ponto B = ( - 3 ; 4 )

( em anexo tem o gráfico da reta e da circunferência e os pontos de interseção )

Explicação passo a passo:

Para encontrar os pontos de interseção destas duas figuras monta-se um

sistema de duas equações.

A solução do sistema terá as coordenadas dos pontos comuns.

{ x² + y² = 25

{ x +2y = 5

Resolver a segunda equação em ordem a "x" e com o valor que der substituir na primeira equação

⇔

{ ( -2y + 5)² + y² = 25

{ x = - 2 y + 5

Na primeira equação tem-se um produto notável.

No seu desenvolvimento vai ficar:

O quadrado do primeiro termo

+

o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

+

o quadrado do segundo termo

⇔

{ ( - 2y)² + 2 * ( - 2 y ) * 5 + 5² + y² = 25

{ x = - 2 y + 5

⇔

{ 4y² - 20 y  + 25 + y² = 25

{ x = - 2 y + 5

Na primeira equação passar tudo para o primeiro membro

⇔

{ 4y² - 20 y  + 25 + y² - 25 = 0

{ x = - 2 y + 5

⇔

{ 4y² + y² - 20 y  + 25  - 25 = 0

{ x = - 2 y + 5

⇔

{ 5y² - 20 y = 0

{ x = - 2 y + 5

Cálculos auxiliares para resolver a primeira equação

5y² - 20 y = 0

5 * y * y - 5 * 4 * y = 0

Não precisamos de usar a fórmula de Bhascara

Vai-se colocar "5 y" em evidência

5y ( y - 4 ) = 0

É uma equação produto:

5y = 0   ∨  y - 4 = 0

y = 0   ∨ y = 4

Fim de cálculos auxiliares.

Com os dois valores para y vamos encontrar na 2ª equação , os respetivos valores de x

Quando y = 0

x = - 2 * 0 + 5

x = 5  

Ponto A = ( 5 ; 0 )      

Quando y = 4

x = - 2 * 4 + 5

x = - 8 + 5

x = - 3  

Ponto B = ( - 3 ; 4 )

Bom estudo.

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Símbolos: ( ∨ )  ou          ( ⇔ )  equivalente        ( * ) multiplicação