Question

3 fuvest-sp seja r a reta que passa pelo. P 3,2 E é perpendicular a reta s y = - x + 1 qual é a distância do ponto a(3,0)a reta r?​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d_{Ar}=\sqrt{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Devemos encontrar a distância do ponto $A~(3,~0)$ à reta $r$, sabendo que ela passa pelo ponto $P(3,~2)$ e que $r\perp s$, tal que a equação da reta $s:y=-x+1$.

Para que uma reta seja perpendicular a outra de coeficiente angular $m_1$, seu coeficiente angular $m_2$ deve ser igual a $-\dfrac{1}{m_1}$.

Assim, comparamos a equação da reta $s$ á forma reduzida $y=mx+n$, tal que $m$ é o coeficiente angular e $n$ é o coeficiente linear.

Facilmente, vemos que $m_s=-1$.

Dessa forma, aplicando a regra discutida acima, o coeficiente da reta $r$ será: $m_r=-\dfrac{1}{m_s}=-\dfrac{1}{-1}$

Multiplique os valores

$m_r=1$

Assim, utilizando a equação do feixe de retas, encontramos a equação de $r$:

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

Substituindo as coordenadas do ponto $P$ e o coeficiente angular que encontramos, teremos

$y-2=x-3$

Trazemos os termos à direita da equação para o lado esquerdo da igualdade, alterando seus sinais, a fim de encontrarmos a equação geral da reta:

$y-2-x+3=0$

Some os termos semelhantes

$r:-x+y+1=0$

Então, dada uma equação geral de reta $ax+by+c=0$, a distância $d$ de um ponto $(x_0,~y_0)$ à esta reta é dada pela fórmula:

$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo os valores $a=1,~b=1,~c=1$ e as coordenadas do ponto $A$, teremos:

$d_{Ar} =\dfrac{|-3+0+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

Calcule as potências e some os valores

$d_{Ar} =\dfrac{|-2|}{\sqrt{1+1}}\\\\\\ d_{Ar} =\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}$

Sabendo que o módulo de um número negativo se torna positivo, temos:

$d_{Ar} =\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

Racionalize a fração, multiplicando-a por $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$d_{Ar} =\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Multiplique os valores, sabendo que $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$

$d_{Ar} =\dfrac{2\sqrt{2}}{2}$

Simplifique a fração

$d_{Ar}=\sqrt{2}$

Esta é a distância do ponto $A$ até a reta $r$.