Matemática, perguntado por edvaldomaranhaom, 7 meses atrás

3. Fibonacci foi um matemático italiano que viveu no século Xm. Em
1202 escreveu um livro intitulado Liber Abaci onde apresenta um
problema sobre a procriação de um casal de coelhos que o acabou
consagrando pela famosa Sequência de Fibonacci O problema é o
seguinte
no 1° més temos um casal de coelhos
. no 2º mês o casal acasala, mas continuamos com 1 casat:
no 3º mês nasce outro par de coelhos e assim temos 2 casais:
no 4º més o primeiro casal produz mais um par de coelhos e
ficamos com 3 casais:
• no 5° més o primeiro e o segundo casal produzem mais um
casal cada, ficando assim com 5 casals
O processo acima produz a seguinte sequencia definida pela seguinte
Leif Fort
(1. 1. 2. 3. 5. 8. ...).
Onde, a partir do terceiro termo a sequência e determinada pela
soma dos dois termos anteriores. Determine o 10 termo da
sequência
a) 65
b) 44
C) 21
d) 32
e) 64

Soluções para a tarefa

Respondido por rubensousa5991

Com base na definição da sequencia fibonacci e no termo geral da mesma, temos como resposta correta que o decimo termo será:

Termo geral da Fibonacci

Uma série de potências do tipo $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ tem um raio de convergência $R \geq 0$ tal que a série é convergente se |x| < R e divergente se |x |> R. A série de potências define uma função contínua e infinitamente diferenciável f(x) para |x| < R.

Também se duas séries de potência $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ e $\displaystyle\sum b_{n}x^{n}$ são tais que são iguais para todos os valores de x em algum intervalo (−R,R), então $a_{n} = b_{n}$ para todos os inteiros não negativos n. Este último fato será a ideia principal utilizada nesta prova.

Vamos deixar $a_n$ denotado como $n^{\text{th}}$ Número de Fibonacci e considere a série de potências $F(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ . Claramente podemos ver que se esta série converge em certo intervalo (−R,R) então temos as seguintes relações para |x| < R:

$F(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots\tag{1}$

$xF(x) = a_{0}x + a_{1}x^{2} + a_{2}x^{3} + \cdots \tag{2}$

$x^{2}F(x) = a_{0}x^{2} + a_{1}x^{3} + a_{2}x^{4} + \cdots\tag{3}$

Agora, essas equações nos dão claramente

$F(x) - xF(x) - x^{2}F(x) = a_{0} + (a_{1} - a_{0})x$

como resto dos termos cancelam por causa da relação de recorrência $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ colocando $a_{0} = 1, a_{1} = 1$ nós temos:

$F(x) = \dfrac{1}{1 - x - x^{2}}$

Se $\alpha = (1 + \sqrt{5})/2, \beta = (1 - \sqrt{5})/2$ então α,β são raízes de t²−t−1=0 e, portanto, podemos escrever:

$1 - x - x^{2} = (1 - \alpha x)(1 - \beta x)$

Assim temos

$F(x) = \dfrac{1}{(1 - \alpha x)(1 - \beta x)} = \dfrac{A}{1 - \alpha x} + \dfrac{B}{1 - \beta x}$

onde A, B precisam ser descobertos. claramente temos

$1 = A(1 - \beta x) + B(1 - \alpha x)$

e colocando x=1/α obtemos :

$A = \dfrac{\alpha}{\alpha - \beta}$

$B = -\dfrac{\beta}{\alpha - \beta}$

Assim temos:

$F(x) = \dfrac{1}{\alpha - \beta}\left(\dfrac{\alpha}{1 - \alpha x} - \dfrac{\beta}{1 - \beta x}\right)\tag{4}$

Em seguida, usamos outro resultado da série de potências, ou seja, que

$\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots$

para |x| < 1. Usando este resultado podemos ver que:

$\displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n} = F(x) = \frac{1}{\alpha - \beta}\left(\sum_{n = 0}^{\infty}(\alpha^{n } - \beta^{n })x^{n}\right)$

e, portanto, os coeficientes em ambas as séries de potência devem ser iguais e temos

$a_{n} = \dfrac{\alpha^{n } - \beta^{n }}{\alpha - \beta} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n } - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n }\right\}$