Question

3. (FGV - SP) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a
R$ 28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 – 2x cartuchos por mês.

a) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho.
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b) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro.

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c) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho?

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d) Quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza o lucro?​

Answer 1

Cada cartucho custa R$28,00

é previsto que se for vendido por $x$ reais, serão vendidos $200-2x$ cartuxos por mês.

letra a)

Sabemos que se for vendido a zero reais, ou seja, $(x=0)$, a loja não terá ganho.

Pela fórmula  $200-2x$ sabemos que se $\bf x=100$ então $200-2\times100=200-200\bf =0$

Temos portanto as raízes de uma equação quadrática $\bf x_1=0\,\,\, ,\,\,\,x_2=100$

As raízes de uma equação são os valores de $x$ tais que $(x+a)(x+b)=0$

Assim, descobrimos que $a=-x_1$ e $b=-x_2$ e obtemos a equação:

$(x)(x-200)=x^2-200x=y(x)$

Mas não se esqueça que existe um gasto de R$28,00 por cada cartucho!

Basta então subtrair o valor de $28x$ na equação obtida:

$y(x)=x^2-200x -28x$

$y(x)=x^2-172x$

letra b)

Existe lucro quando $y(x)>0$. ou seja, quando

$x^2-172x>0\\\\x(x-172)>0$

isto resulta nos limites  $x_1=0$ e $x_2=172$.

Logo os produtos só podem ser vendido em uma faixa de preço entre R$0,00 e R$172,00

letra c)

Por se tratar de uma parábola, o ponto de valor máximo se localiza entre $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+172}{2}=86$

Logo, para o lucro máximo é qando $x=R\ 86,00$

letra d)

serão vendidos  $200-2x=200-86=114$ cartuxos por mês.