Question

3) Escreva na forma trigonométrica: (números imaginários)

a) z = √2 - 2i 

b) z = 3 - √3 i

Answer 1

Para escrever na forma trigonométrica, precisamos lembrar da fórmula:

$\boxed{z=\rho(cos\ \theta+i\ sen\ \theta)}$

O rô é o módulo do número complexo, que é encontrado da seguinte maneira:

$\boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$

a) $z=\sqrt{2}-2i\\\\ |z| =\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-2)^2}\\\\ |z| = \sqrt{2+4}\\\\ |z|=\sqrt{6}$

Olhando no ciclo trigonométrico, o ângulo é 215°

$\boxed{z = 6(cos\ 215\°+isen\ 215\°)}$

b) $z = 3-\sqrt{3}i\\\\ |z| = \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\\\\ |z| = \sqrt{9+3}\\\\ |z| = \sqrt{12}\\\\ |z| = 2\sqrt{3}$

Vamos usar a relação, para encontrar o seno e cosseno

$cos\ \theta = \frac{a}{\rho}\\\\ cos\ \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}\ \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\ \frac{6\sqrt{3}}{12}\\\\ cos\ \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ \boxed{cos\ \theta = 150\°}$

$sen\ \theta = \frac{b}{\rho}\\\\ sen\ \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\\\\ sen\ \theta = -\frac{1}{2}\\\\ \boxed{sen\ \theta = 150\°}$

$\boxed{z=2\sqrt{3}(cos\ 150\°+isen\ 150\°)}$