3 - Encontre os três termos de uma PG sabendo que a
soma deles é 7e que o produto deles é 8
Soluções para a tarefa
Sejam a, b e c, nessa ordem, os três termos da PG, e q, a razão da PG.
Temos:
b = aq
c = aq²
Sabendo que a soma deles é 7, temos:
a + b + c = 7
a + aq + aq² = 7
Sabendo que o produto deles é 8, temos:
abc = 8
a · aq · aq² = 8
a³q³ = 8
(aq)³ = 8
aq = 2
Voltando para a equação da soma:
a + aq + aq² = 7
a + 2 + aq · q = 7
a + 2q = 5
Como aq = 2, então a = 2/q:
2/q + 2q = 5
2 + 2q² = 5q
2q² - 5q + 2 = 0
Δ = (-5)² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9
q = (5 ± 3)/4
q = 1/2 ou q = 2
Se q = 1/2, então a = 4, logo os termos a, b e c são 4, 2 e 1.
Se q = 2, então a = 1, logo os termos a, b e c são 1, 2 e 4.
Explicação passo-a-passo:
sejam os 3 termos da PG
a1 = x/q
a2 = x
a3 = xq
x/q + x + xq = 7 >>>>>1
x/q * x * xq = 8 >>>>>2
corta q com q
x * x * x = 8 ou 2³
x³ = 2³
x = 2 >>>>
a1 = 2/q
a2 = 2
a3 = 2q
temos em >>>>>1 acima
x/q + x + xq = 7
2/q + 2 + 2q = 7
passando 2 para segundo membro com sinal trocado
2/q + 2q/1 = 7 - 2
2/q + 2q/1 = 5/1
mmc q e 1 =q
q : q = 1 * 2 = 2 >>>>
q : 1 =q * 2q = 2q² >>>>
q : 1 = q * 5 =5q >>>>>
elimina mmc
reescrevendo
2 + 2q² = 5q
passando 5q para primeiro membro com sinal trocado
2q² - 5q + 2 = 0
trinômio do segundo grau onde temos os termos
a = +2
b= -5
c =+2
delta = b² - 4ac = (-5)² - [ 4 * 2 * 2 ] = 25 - 16 = 9 ou +-V9 = +-3 >>>>delta
q = [ -b +-delta]/2a
q = ( 5 +- 3 )/4
q1 = ( 5 + 3 )/4 = 8/4 = 2 >>>>>
q2 = ( 5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2 >>>>
Os termos da PG são
Para q = 2
a1 = 2/q = 2/2 = 1 >>>>
a2 = 2 >>>>
a3 = 2q ou 2 * 2 = 4 >>>>
PG [ 1,2,4 ..................]
Para q = 1/2 ou 0,5
a1 = 2/q = 2/0,5 = 4 >>>>
a2 = 2
a3 = 2q = 2 * 0,5 =1>>>>
RESPOSTA > 1, 2, 4 ou 4, 2, 1 >>>