Question

3) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas. *

a)k menor que 2/5
b)k maior que 2/5
c)k = 0
d)nenhuma das respostas acima

Answer 1

A alternativa que corresponde ao valor de k para que a equação do 2º grau apresentada tenha raízes reais e distintas é a letra a) k < 2/5.

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Dado a equação

                                             $\Large\quad\quad\begin{array}{l}\sf2\:\!x^2+4\:\!x+5\:\!k=0\end{array}$

, queremos determinar k para que x₁ e x₂ ∈ ℝ, com x₁ ≠ x₂, isto é, para que se tenha duas raízes reais e diferentes. Podemos fazer isso calculando o discriminante dessa equação, pois por essa propriedade:

                           $\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sf\Delta > 0~\to~x\,\!_1~e~x\,\!_2\in\mathbb{R},~~com~~x\:\!_1\neq\,x\:\!_2\end{array}}$

• Se o discriminante tiver um valor positivo, então as raízes serão reais e diferentes.

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Mas de antemão, vamos identificar os coeficientes a, b e c, lembrando que a equação quadrática é na forma ax² + bx + c = 0:

                                                      $\large\quad\quad\quad\quad\quad\quad\begin{array}{l}\begin{cases}\boldsymbol{\sf a}\sf=2\\\sf\boldsymbol{\sf b}\sf=4\\\sf\boldsymbol{\sf c}\sf=5\:\!k\end{cases}\end{array}$

Assim vamos calcular:

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf\Delta > 0\\\\\sf\iff~~~b^2-4\:\!a\:\!c > 0\\\\\sf\iff~~~4^2-4\cdot2\cdot5\:\!k > 0\\\\\sf\iff~~~16-40\:\!k > 0\\\\\sf\iff~~-40\:\!k > -\,16\\\\\sf\iff~~\!\big(\!\!-40\:\!k > -\,16\big)\cdot(-1)\\\\\sf\iff~~~40\:\!k < 16\\\\\sf\iff~~~k < \dfrac{~16~}{40}\\\\\sf\iff~~~k < \dfrac{~16^{\,:\,8}~}{40^{\,:\,8}}\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf k < \dfrac{~2~}{5}}}\end{array}$

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