Question

3. Determine os valores de x, y e z de modo que exista a igualdade abaixo:

[X– 1 2y] = [ 2 –6]
[2z– 3 0 ] [7 0 ]

Determine

a) ( 6 5) ( 2 4)
( 1 0) ( 1 3)

b) (1)
( 3) ( 2 5 0)
( 6)

Answer 1

Para que duas matrizes sejam iguais, devem ter a mesma ordem e os elementos de mesma posição nas duas matrizes devem ser iguais (ex.: a₁₁=b₁₁,  a₄₂=b₄₂ etc).

Já para a multiplicação de matrizes, é necessário que o número de colunas da 1ª matriz (A) seja igual ao número de linhas da 2ª matriz (B). A matriz resultante dessa multiplicação terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.

$\boxed{\sf A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}~=~M_{m\times p}}$

Cada elemento Mij da nova matriz (M) é dado pelo produto escalar entre o vetor formado pelos elementos da linha "i" de A e o vetor formado pelos elementos da coluna "j" de B.

$\left[\begin{array}{c c c c c}\sf a_{11}&\sf a_{12}&...&\sf a_{1n}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}&...&\sf a_{2n}\\...&...&\ddots&\vdots\\\sf a_{m1}&\sf a_{m2}&...&\sf a_{mn}\end{array}\right]~\cdot~\left[\begin{array}{c c c c c}\sf b_{11}&\sf b_{12}&...&\sf b_{1p}\\\sf b_{21}&\sf b_{22}&...&\sf b_{2p}\\...&...&\ddots&\vdots\\\sf b_{n1}&\sf b_{n2}&...&\sf b_{np}\end{array}\right]~=$

$\sf =~\left[\begin{array}{c c c c c}\overbrace{\sf a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+...+a_{1n}\cdot b_{n1}}^{\sf m_{11}}&\sf m_{12}&...&\sf m_{1p}\\\sf m_{21}&\sf m_{22}&...&\sf m_{2p}\\...&...&\ddots&\vdots\\\sf m_{m1}&\sf m_{m2}&...&\sf m_{mp}\end{array}\right]$

$\boxed{\sf m_{mp}~=~a_{m1}\cdot b_{1p}~+~a_{m2}\cdot b_{2p}~+~...~+~a_{mn}\cdot b_{np}}$

3)

Podemos ver em que as duas matrizes são de mesma ordem (2), vamos então calcular os valores de "x" que torna o elemento "x-1" igual a 2, "y" que torna o elemento "2y" igual a -6 e "z" que torna o elemento "2z-3" igual a 7.  

$\left\{\begin{array}{c c c c l}\sf x-1&=&\sf2&\sf\Longrightarrow&\boxed{\sf x~=~3~~}\\\sf 2y&=&\sf-6&\sf\Longrightarrow&\boxed{\sf y~=\,-3}\\\sf 2z-3&=&\sf7&\sf\Longrightarrow&\boxed{\sf z~=~5~~}\end{array}\right.$

1)

Como podemos ver, para os dois itens (a) e (b), os critérios para multiplicação das matrizes é atendido.

Em (a), temos duas matrizes quadrada de ordem 2, logo o resultado da multiplicação será, também, uma matriz M quadrada de ordem 2.

Já em (b), temos uma matriz coluna 3x1 multiplicando uma matriz linha 1x3, portanto teremos como resultado uma matriz M quadrada de ordem 3.

a)

$\sf M~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 6\cdot 2+5\cdot 1&\sf 6\cdot 4+5\cdot 3\\\sf 1\cdot 2+0\cdot 1&\sf 1\cdot 4+0\cdot 3\end{array}\right] \\\\\\M~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 12+5&\sf 24+15\\\sf 2+0&\sf 4+0\end{array}\right] \\\\\\M~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 17&\sf 39\\\sf 2&\sf 4\end{array}\right]$

b)

$\sf M~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 1\cdot 2&\sf 1\cdot 5&\sf 1\cdot 0\\\sf 3\cdot 2&\sf 3\cdot 5&\sf 3\cdot 0\\\sf 6\cdot 2&\sf 6\cdot 5&\sf 6\cdot 0\end{array}\right] \\\\\\M~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf 5&\sf 0\\\sf 6&\sf 15&\sf 0\\\sf 12&\sf 30&\sf 0\end{array}\right]$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$