Question

3) Determine o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u ⃗ = (2, 1, −1) e v ⃗ = (1, −1, a) seja √62.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

A área de um paralelogramo determinado por dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, em um sistema de coordenadas onde $\vec{u}=(u_1,~u_2,~u_3)$ e  $\vec{v}=(v_1,~v_2,~v_3)$, pode ser calculada pela fórmula: $||\vec{u}\times\vec{v}||$, em que $\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{vmatrix}$ é produto vetorial dos vetores e $||\vec{w}||=\sqrt{{w_1}^2+{w_2}^2+{w_3}^2}$ é a norma (ou comprimento) do vetor.

Assim, substituindo as componentes dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ no determinante, temos:

$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\1&-1&a\\\end{vmatrix}$

Para calcular este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\1&-1&a\\\end{vmatrix}\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}\\2&1\\1&-1\\\end{matrix}$

Aplique a Regra de Sarrus

$\vec{i}\cdot1\cdot a+\vec{j}\cdot (-1)\cdot 1+\vec{k}\cdot 2\cdot(-1)-(\vec{j}\cdot 2\cdot a +\vec{i}\cdot (-1)\cdot (-1)+\vec{k}\cdot1\cdot1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$(a-1)\,\vec{i}+(-1-2a)\,\vec{j}-3\vec{k}$

Reescrevendo este vetor em formato de coordenadas, temos:

$(a-1,\,-1-2a,~3)$

Por fim, calculamos sua norma e igualamos ao valor desejado

$||(a-1,\,-1-2a,~3)||=\sqrt{62}\\\\\\ \sqrt{(a-1)^2+(-1-2a)^2+3^2}=\sqrt{62}$

Eleve ambos os lados da igualdade à segunda potência e expanda os binômios

$(a-1)^2+(-1-2a)^2+9=62\\\\\\ a^2-2a+1+1+4a+4a^2+9=62$

Subtraia $62$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$5a^2+2a-51=0$

Resolvemos a equação quadrática:

$a=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot5\cdot(-51)}}{2\cdot 5}\\\\\\ a=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+1020}}{10}=\dfrac{-2\pm\sqrt{1024}}{10}\\\\\\\ a=\dfrac{-2\pm32}{10}$

Separamos as soluções, somamos os valores e simplificamos as frações

$a=\dfrac{-17}{5}~~\bold{ou}~~a=3$

Estas são as soluções para $a$ que buscávamos.