Question

3. Determine o valor da expressão sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus.

Answer 1

Começamos por recordar as formulas do seno e do cosseno da soma, bem como as razões trigonométricas dos ângulos em causa:
• $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha\cos \beta + \sin\beta\cos\alpha;$
• $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta;$
• $\sin a = \cos b = \dfrac{1}{2};$
• $\cos a = \sin b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Portanto:
$\sin(x+a) + \cos(x+b) = \sin x \cos a + \sin a \cos x + \cos x \cos b - \sin x \sin b.$

Substituindo pelos valores numéricos, obtemos:
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos x.$

Note que o resultado é generalizável para quaisquer $a, b$ complementares, pois nesse caso $\cos a = \sin b$ e $\sin a = \cos b.$