Question

3) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 3) e B(4, 5).​

Answer 1

Resposta: 3.x -2.y + 1 = 0 (forma geral)  ou  y = (3/2).x + 1/2 (forma reduzida)

Explicação passo a passo:

A partir da forma reduzida da reta, e com os pontos dados, temos:

y = m.x +b    (*)

Etapa 1 - Usando o ponto A(1, 3) em (*):

3 = m.1 + b     (**)

Etapa 2 - Usando o ponto B(4, 5) em (*):

5 = m.4 + b   (***)

Temos o seguinte sistema de equações com as incógnitas m e b:

3 = m.1 + b     (**)

5 = m.4 + b   (***)

Resolvendo o sistema:

(***) - (**)  ⇒   5 - 3 = m.4 - m.1   ⇒  2 = m.3  ⇒  m = 3/2

Substituindo em (**) (ou em (***)):

3 = (3/2).1 + b   ⇒  b = 3 - 3/2 = 1/2

Assim:

y = m.x +b    ⇒   y = (3/2).x + 1/2

Reorganizando para a forma geral, temos:

A.x + B.y + C = 0    ⇒    3.x -2.y + 1 = 0

Answer 2

✅ Após ter finalizado os cálculos, concluímos que a equação geral da reta que passa pelos referidos pontos do plano cartesiano é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: -2x + 3y - 7 = 0 \:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo a equação da reta a partir de dois pontos.

Sejam os pontos:

                           $\Large\begin{cases} A(1, 3)\\B(4, 5)\end{cases}$

Se estamos querendo obter a equação geral da reta que passa por esses pontos, devemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

Desenvolvendo a equação "I", temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = \tan\theta\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{P} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered} }$

Como "P" é qualquer ponto genérico pertencente à reta, então podemos substituir o ponto "P" pelo ponto "A" ou pelo ponto "B". Para fins didáticos, vou substituir o ponto genérico "P" pelo ponto "A". Então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{A})\end{gathered} }$

Substituindo as coordenadas dos pontos "A" e "B" na equação "III", temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{5 - 3}{4 - 1}\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{2}{3}\cdot(x - 1)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{2x}{3} - \frac{2}{3}\end{gathered}$

Como devemos fornecer a equação geral da reta, então devemos passar todos os termos da equação "IV" para o primeiro membro. Então, fazemos:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{2x - 2}{3}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot(y - 3) = 2x - 2\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot(y - 3) -2x + 2 = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3y - 9 - 2x + 2 = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -2x + 3y - 7 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral da reta é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: -2x + 3y - 7 = 0\end{gathered}$

                 

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$