Question

3. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x², que seja perpendicular à reta y = 3 + x. Alguém me ajuda por favor.

Answer 1

Utilizando definição de reta tangente e perpendicular, temos que nossa reta é:

$y=-x+\frac{21}{4}$

Explicação passo-a-passo:

Toda reta tem a equação geral dado por:

$y=Ax+B$

Onde A é o coeficiente angular. Para duas retas serem perpendiculares, a multiplicação dos seus coeficientes angulares deve ser -1, e neste caso já temos uma das retas:

$y=x+3$

Então sabemos que o seu coeficiente angular é 1, assim podemso encontrar o outro:

$A.1=-1$

$A=-1$

Assim temos que nossa reta é:

$y=-x+B$

Falta descobrir B. Para isso sabemos que esta reta é tangente a equação:

$y=5-x^2$

Então o coeficiente angular desta reta tangente é a derivada desta função em um ponto expecifico:

$y=5-x^2$

$y'=-2x$

$-1=-2x$

$x=\frac{1}{2}$

Então sabemos que esta reta é tangente a curva em x = 1/2, assim podemos encontrar este valor do ponto em y:

$y=5-x^2$

$y=5-(\frac{1}{2})^2$

$y=5-\frac{1}{4}$

$y=\frac{19}{4}$

Assim esta reta passa pelo ponto (1/2 ; 19/4), então podemos substituir este pont ona equação da reta e achar B:

$y=-x+B$

$\frac{19}{4}=-\frac{1}{2}+B$

$\frac{19}{4}+\frac{1}{2}=B$

$\frac{21}{4}=B$

Assim temos que nossa equação da reta é:

$y=-x+\frac{21}{4}$