Question

3)Determine a área da região compreendida entre as funções:OBS* fazer o gráfico e destacar a
região
a)y = x^2 - 2 e y=2

b) y= 7 - 2x^2 e y= x^2+4

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~\dfrac{32}{3}~u.~a~\biggr|~b)~4~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para determinarmos as áreas das regiões compreendidas entres as funções, utilizaremos integrais.

a)  $y=x^2-2$ e $y=2$.

Ao esboçarmos o gráfico da função, vemos encontrar seus pontos de intersecção: os utilizaremos como limites de integração.

Para isso, igualamos as funções:

$x^2-2=2$

Some $2$ em ambos os lados da equação

$x^2=4$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$x=\pm\sqrt{4}$

Sabendo que $4=2^2$, temos

$x=\pm 2$

Dessa forma, vemos que os nossos limites de integração estão definidos no intervalo $-2\leq x\leq 2$.

Observe o comportamento das funções neste intervalo: ambas são contínuas e em todo o intervalo, $2\geq x^2-2$.

Assim, lembre-se que a área da região limitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$ em um dado intervalo $[a,~b]$ tal que nele $f(x)\geq g(x)$, é dada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Nossa área será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-2}^2 2-(x^2-2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_{-2}^2 2-x^2+2\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-2}^2 4-x^2\,dx$

Calcule a antiderivada da função

$4x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-2}^2$

De acordo com o Teorema fundamental do cálculo, aplique os limites de integração

$4\cdot2-\dfrac{2^3}{3}-\left(4\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$8-\dfrac{8}{3}-\left(-8-\dfrac{-8}{3}\right)$

Efetue a propriedade distributiva

$8-\dfrac{8}{3}+8-\dfrac{8}{3}$

Some os valores

$\dfrac{32}{3}~u.~a$

Veja a imagem em anexo: a região está destacada em laranja.

b)  $y=7-2x^2$ e  $y=x^2+4$.

Da mesma forma, igualamos as funções para encontrar seus pontos de intersecção:

$7-2x^2=x^2+4$

Isole $x$

$3x^2=3$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$x^2=1$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$x=\pm\sqrt{1}\\\\\\ x=\pm1$

Dessa forma, determinamos os limites de integração: a região está compreendida no intervalo $-1\leq x\leq 1$.

Observando o comportamento das funções neste intervalo, vemos que $7-2x^2\geq x^2+4$. Nossa integral será:

$\displaystyle{\int_{-1}^1 7-2x^2-(x^2+4)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva

$\displaystyle{\int_{-1}^1 7-2x^2-x^2-4\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1 3-3x^2\,dx$

Calcule a primitiva da função

$3x-x^3~\biggr|_{-1}^1$

Aplique os limites de integração

$3\cdot1-1^3-(3\cdot(-1)-(-1)^3)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$3-1+3-1$

Some os valores

$4~u.~a$

Veja a imagem em anexo: a região está destacada em laranja.