Question

3. Dada a função f definida por f(x) = 12 sen(x) ∙ cos(x) ∙ cos (2x), determine o valor de f $(-\frac{pi}{24} )$.

Answer 1

Olá, bom dia.

Dada a função $f$, definida por: $f(x)=12\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\cos(2x)$, devemos determinar o valor de $f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)$.

Primeiro, lembre-se a fórmula de arcos duplos: $2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)=\sin(2x)$.

Assim, teremos:

$f(x)=6\cdot2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\cos(2x)\\\\\\ f(x)=6\cdot\sin(2x)\cdot\cos(2x)$

Repita o processo

$f(x)=3\cdot2\cdot\sin(2x)\cdot\cos(2x)\\\\\\ f(x)=3\cdot\sin(4x)$

Então, substitua o valor de $x$:

$f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)=3\cdot\sin\left(4\cdot\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)\right)$

Multiplique os valores e simplifique a fração

$f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)=3\cdot\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$

Sabendo que a paridade da função seno é ímpar, ou seja, $\sin(-x)=-\sin(x)$, teremos:

$f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)=-3\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$, teremos:

$f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)=-3\cdot\dfrac{1}{2}$

Multiplique os valores

$f\left(-\dfrac{\pi}{24}\right)=-\dfrac{3}{2}$

Este é o valor numérico desta função para $x=-\dfrac{\pi}{24}$.