Question

3) Considere um prisma cuja base é um hexágono regular de 10 cm de lado e altura de 3 cm. No centro da peça, existe um furo cilíndrico de 2 cm de raio. Qual é a quantidade de ferro, em volume, utilizada na confecção da peça?

Answer 1

Para calcular o volume desta peça de ferro, devemos utilizar as fórmulas de volume de cilindros e prismas.

• Primeira Parte

Primeiramente, devemos calcular o volume do prisma hexagonal.

Um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros.

Logo, a área da base será:

$A_b = 6 \cdot \dfrac{ {l}^{2} \sqrt{3} }{4}$

Sabemos que o lado do hexágono da base vale 10cm, logo:

$A_b = 6 \cdot \dfrac{ {10}^{2} \sqrt{3} }{4}$

$A_b = 6 \cdot \dfrac{ {100} \sqrt{3} }{4}$

$A_b = 6 \cdot 25 \sqrt{3}$

$A_b = 150 \sqrt{3} \: {cm}^{2}$

O volume do prisma é igual a multiplicação entre área da base e altura:

$V_p = A_b \cdot h$

Calculando:

$V_p = 150\sqrt{3} \cdot 3$

$V_p = 450\sqrt{3} \: cm^3$

• Segunda Parte:

Agora, devemos subtrair o volume do furo em formato de cilindro do prisma.

Calculando o volume do cilindro:

$V_c = \pi \cdot R^2 \cdot h$

$V_c = \pi \cdot (2)^2 \cdot 3$

$V_c = 12\pi \: {cm}^{3}$

Subtraindo:

$V_t = V_p - V_c$

$V_t = 450 \sqrt{3} - 12\pi$

Fatorando:

$V_t = 6 \cdot(75 \sqrt{3} - 2\pi) {cm}^{3}$

O que vale aproximadamente:

$V_t = 727,32 \: cm^3$

(Você pode escolher entre qual das formas colocar, todas representam o mesmo valor)

• Resposta:

Qualquer uma das três formas pode ser escolhida como resposta:

$V_t = 450 \sqrt{3} - 12\pi \: {cm}^{3}$

$V_t = 6 \cdot(75 \sqrt{3} - 2\pi) {cm}^{3}$

$V_t = 727,32 \: cm^3$

(^ - ^)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

=> Área da base

• A área do hexágono é:

$\sf A=\dfrac{3\cdot L^2\sqrt{3}}{2}$

$\sf A=\dfrac{3\cdot 10^2\sqrt{3}}{2}$

$\sf A=\dfrac{3\cdot 100\sqrt{3}}{2}$

$\sf A=\dfrac{300\sqrt{3}}{2}$

$\sf A=150\sqrt{3}~cm^2$

• A área do círculo é:

$\sf A=\pi\cdot r^2$

$\sf A=\pi\cdot2^2$

$\sf A=4\pi~cm^2$

Logo, a área da base é:

$\sf A_b=150\sqrt{3}-4\pi$

=> Volume

$\sf V=A_b\cdot h$

$\sf V=(150\sqrt{3}-4\pi)\cdot3$

$\sf V=450\sqrt{3}-12\pi$

$\sf \red{V=6\cdot(75\sqrt{3}-2\pi)~cm^3}$

Aproximadamente 740,82 cm³