Question

3) Considere que uma praça foi construída de forma que os gramados são separados do caminho de passeio por dois ramos de uma hipérbole, conforme o esquema abaixo. Considere ainda que, de acordo com a origem do sistema de coordenadas adotado pelo arquiteto responsável pela obra, a equação dessa hipérbole seja´:

a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40​

Answer 1

( x - 50 )² / 400 - ( y - 30 )² / 225 = 1

• Aplique a derivada de cada termo, em função de x.

d / d x ( ( x - 50 )² / 400 ) - d / d x ( ( y - 30 )² / 225 ) = d / d x ( 1 )

• Use a Regra da Derivação. d / d x ( a x f ) = a x d ( f )
• d x

1 / 400 x d / d x ( ( x - 50 )² ) - d / d x ( ( y - 30 )² / 225 ) = d / d x ( 1 )

• Na situação que está grifada, usando a regra de Chain d / d x ( ( y - 30 )² / 225 ) = d / d y ( ( y - 30 )² / 225 ) x d y / d x use a derivada.

1 / 400 x d / d x ( ( x - 50 )² ) - d / d y ( ( y - 30 )² / 225 ) x d y / d x = d / d x ( 1 )

• Na situação grifada, a derivada de uma constante é sempre 0.

1 / 400 x d / d x ( ( x - 50 )² ) - d / d y ( ( y - 30 )² / 225 ) x d y / d x = 0

• Na situação grifada, utilizando a Regra da Cadeia d / d x ( f ( g ) ) = d / d g ( f ( g ) ) x d / d x ( g ), onde g = x - 50, tome a derivada.

1 / 400 x d / d g ( g² ) x d / d x ( x - 50 ) - d / d y ( ( y - 30 )² / 225 ) x d y / d x = 0

• Na situação grifada, use a Regra da Derivação. d / d y ( a x f ) = a x d ( f )
• d y

1 / 400 x d / d g ( g² ) x d / d x ( x - 50 ) - 1 / 225 x d / d y ( ( y - 30 )² ) x d y / d x = 0

• Na situação grifada, calcule a derivada.

1 / 400 x 2g x d ( x - 50 ) - 1 x d ( ( y -

d x 225 d y

30 )² ) x d y / d x = 0

• Na situação grifada, calcule a derivada da soma ou diferença.

1 / 400 x 2g x 1 - 1 / 225 x d / d y ( ( y - 30 )² ) x d y / d x = 0

• Utilizando a Regra da Cadeia d / d x ( f ( g ) ) = d / d g ( f ( g ) ) x d / d x ( g ), onde g = y - 30, tome a derivada.

1 / 400 x 2g x 1 - 1 / 225 x d / d g ( g² ) x d / d y ( y - 30 ) x d y / d x = 0

• Na situação grifada, qualquer termo multiplicado por 1 se mantém o mesmo.

1 / 400 x 2g - 1 / 225 x d / d g ( g² ) x d / d y ( y - 30 ) x d y / d x = 0

• Na parte em negrito, devolva a substituição g = x - 50

1 / 400 x 2 ( x - 50 ) - 1 / 225 x d / d g ( g² ) x d / d y ( y - 30 ) x d y / d x = 0

• Na parte grifada, calcule a derivada.

1 / 400 x 2 ( x - 50 ) - 1 / 225 x 2g x d / d y ( y - 30 ) x d y / d x = 0

• Na parte grifada, calcule a derivada da soma ou diferença.

1 / 400 x 2 ( x - 50 ) - 1 / 225 x 2g x 1 x d y / d x = 0

• Na parte grifada, qualquer termo multiplicado por 1 se mantém o mesmo.

1 / 400 x 2 ( x - 50 ) - 1 / 225 x 2g x d y / d x = 0

• Simplifique a expressão matemática grifada.

1 / 200 x - 1 / 4 - 1 / 225 x 2g x d y / d x = 0

• Na parte grifada, devolva a substituição g = y - 30

1 / 200 x - 1 / 4 - 1 / 225 x 2 ( y - 30 ) x d y / d x = 0

• Na parte grifada, simplifique e expressão matemática.

1 x - 1 - ( 2 y - 4 ) x d y = 0

200 4 ( 225 15 ) d x

• Na parte grifada, use a propriedade distributiva da multiplicação e multiplique cada termo dentro dos parênteses por d y / d x

1 x - 1 - ( 2 y x d y - 4 x d y ) = 0

200 4 ( 225 d x 15 d x )