Question

3 - Considere as expressões trigonométricas abaixo: cos(α+β) = cosα cosβ – senα senβ e sen(α+β) = senα cosβ + senβ cosα. Para calcular o cos2α e o sen2α , basta fazer α=β , e, a partir das expressões trigonométricas, obtêm-se: cos2α = cos (α+α) = cos2α – sen2α e sen2α = sen (α+α) = 2senα cosα. De modo semelhante ao cálculo acima, desenvolva o cos3α e o sen3α.

Answer 1

Da para considerar que 3α= α + 2α, então ficamos com:
cos(3α) = cos(α+2α) = cos(α)cos(2α)-sen(α)sen(2α)
Com as relações dadas é isso que da pra fazer, porém da pra ir além com outras relações.
Utilizando outra relação temos que cos(2α) = 2cos²(α)-1 ; sen(2α) = 2sen(α)cos(α) e sen²α = 1 - cos²α, então:
cos(3α) =  cosα(2cos²(α) -1) - sen(α)2sen(α)cos(α)
cos(3α) =  cosα(2cos²(α) -1) - 2sen²(α)cos(α)
cos(3α)= cosα(2cos²(α) -1) - 2(1-cos²α)cos(α)
cos(3α)= 2cos³(α) -cos(α)-2cos(α)+2cos³(α)
cos(3α) = 4cos³(α) -3cos(α)

Para o seno, vamos utilizar a mesma consideração: sen(3α)= sen(2α+α)
 sen(2α+α) = sen(α)cos(2α)+sen(2α)cos(α)
Utilizando outra relação temos que cos(2α) = 2cos²(α)-1 ; sen(2α) = 2sen(α)cos(α) e cos²(α)= 1- sen²(α), então:
sen(2α+α) = sen(α)(2cos²(α)-1) +2sen(α)cos²(α)
sen(2α+α)= sen(α)(2(1- sen²(α)) -1) + 2sen(α)(1- sen²(α))
sen(2α+α) = sen(α)(1 - 2sen²(α)) +2sen(α) -2sen³(α)
sen(2α+α)=sen(α) -2sen³(α) +2sen(α) -2sen³(α)
sen(2α+α)= -4sen³(α) +3sen(α)