3) Considere a parábola abalxo: a) Determine o sinal do coeficiente a dessa função. b) Quais os zeros da função associada a essa parábola? c) Determine as coordenadas do vértice dessa parábola. d) Determine o valor do coeficiente c.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) coeficiente "a" negativo
b) Zeros são { 1 ; 3 }
c) Vértice ( 2 ; 1 )
d) c = - 3
Explicação passo a passo:
a)
Aqui vai encontrar uma equação completa do 2º grau.
ax² +bx + c = 0 a ; b ; c ∈ |R e a ≠ 0
O sinal do coeficiente "a" é negativo.
Observação 1 → Determinação do tipo de concavidade em parábolas
Coeficiente "a" ( do x² ) é positivo → concavidade virada para cima
Coeficiente "a" ( do x² ) é negativo → concavidade virada para baixo
b)
Os zeros são os valores da coordenada em x quando o gráfico interseta o eixo "x"
Na figura mostra x= 1 e x = 3
c)
Este exercício está montado para se ter uma leitura direta no gráfico , para
encontrar as respostas a cada alínea.
Mas ...
Ao contrário dos zeros, que se podem ler diretamente, quanto ao vértice
não se consegue uma leitura direta.
Não sei se é por erro ou por imprecisão ou se é mesmo assim.
Há uma situação que a figura mostra algo pouco clarificado.
Isto condiciona o cálculo das coordenadas do vértice.
É o ponto de interseção do gráfico com o eixo "y".
Parece mostrar que é o ponto ( 0 ; - 3 )
ou seja , interseta o eixo "y" em - 3
Saber que isto é assim mesmo vai condicionar o cálculo das coordenadas
do vértice.
Cálculo coordenadas do vértice
Quando não se consegue ler num gráfico quais as coordenadas do vértice
de uma parábola, necessitamos de ter a equação da parábola.
O que não temos aqui.
Conhecendo-se as raízes desta função podemos estabelecer a seguinte
expressão dela :
y = a * ( x - uma raiz ) * ( x - outra raiz )
Aqui conhecemos as raízes, 1 e 3
y = a ( x - 1 ) * ( x - 3 )
Para determinar o "a" precisa-se de conhecer as coordenadas de um ponto
que não seja nenhum dos pontos onde estão as raízes.
Se estiver correto esse ponto será o de interseção com o eixo "y".
Será o tal ( 0 ; - 3 )
Observação 2 → Todos os pontos que estão no eixo "y" têm coordenada
em "x" nula.
Substituindo em y = a ( x - 1 ) * ( x - 3 )
- 3 = a ( 0 - 1 )* ( 0 - 3 )
- 3 = a * ( - 1 ) * ( - 3 )
- 3 = a * 3
- 3/3 = 3a / 3
- 1 = a
Assim a equação da parábola ficaria:
y = -1 * ( x - 1 ) * ( x - 3 )
Resolvendo:
Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
algébrica. que incluis adição e subtração ( vulgarmente conhecida como
regra do " chuveirinho " )
y = - ( x* x + x * (-3) - 1 * x - 1 * ( - 3 ) )
y = - ( x² - 3x -x + 3 )
y = - ( x² - 4x + 3 )
y = - x² + 4x - 3
Observação 3 → Sinal menos atrás de parêntesis
Quando é existe um sinal "menos" atrás de um parêntesis, os termos que
estão lá dentro, ao saírem trocam seu sinal.
Com esta expressão pode-se traçar um gráfico da parábola.
Continuo a dizer que para isso resultar no gráfico em anexo, o ponto de
interseção com eixo "y", terá que ter coordenadas (0 ; - 3 )
As coordenadas do vértice serão ( 2 ; 1 ) ( gráfico em anexo )
d)
O valor do coeficiente "c" é sempre o termo independente da função.
y = - x² + 4x - 3
O termo independente é " - 3 "
Bons estudos.
-----------------------
Símbolos : ( * ) multiplicação ( / ) divisão
