Question

3 - Como calcular a identidade de Euler ?​

Answer 1

• Introdução:

A identidade de Euler é uma igualdade que relaciona lindamente cinco dos números mais importantes e representativos da matemática: 0, 1, e, i e π.

Algo bonito nessa identidade é o uso de vários números de diferentes partes de mais matemática. A identidade de Euler:

$\qquad \qquad \large \rm e {}^{i\pi} + 1 = 0$

• Problema:

Como calcular a identidade de Euler ?

Para calcular a identidade de Euler, usaremos 3 séries de Taylor que serão:

$\qquad \qquad \large \rm sin(x) = x-\dfrac{ x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!} \pm ...$

$\qquad \qquad \large \rm cos(x) = 1-\dfrac{ x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!} \pm ...$

$\qquad \qquad \large \rm e^x = 1+\dfrac{ x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ ...$

• Resolução:

Já que mostrei a série de Taylor, tentamos demonstrar a fórmula de euler, a fórmula do exponencial ou número de euler (e) de nós vamos colocar alguns números complexos (i)

$\qquad \qquad \large \rm e^{ix} = 1+\dfrac{ix}{1!} +\dfrac{ (ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+ \dfrac{(ix)^4}{4!} +\dfrac{(ix)^5}{5!}+...$

Podemos resolver algumas potências de números complexos [imagem 2 em anexo].

$\qquad \qquad \large \rm e^{ix} = 1+\dfrac{ix}{1!} -\dfrac{ x^2}{2!}-\dfrac{ix^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!} +\dfrac{ix^5}{5!}+...$

Nós separamos em duas partes, aquelas com números complexos e aquelas sem números complexos:

$\qquad \qquad \large \rm e^{ix} = (\dfrac{ix}{1!}- \dfrac{ix^3}{3!}+... )+(1-\dfrac{ x^2}{2!}+ \dfrac{x^4}{4!} -...)$

$\qquad \qquad \large \rm e^{ix} =i (x- \dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5}-...) +(1-\dfrac{ x^2}{2!}+ \dfrac{x^4}{4!} +...)$

Aparentemente, para separar em duas partes, obtivemos as identidades trigonométricas de Taylor, então, se simplificarmos:

$\qquad \qquad \large \rm e^{ix} =isin(x) + cos(x)$

Escrevemos "π" em vez de "x", ou seja, substituímos "x" por 180 °, em um círculo de 180 ° é π:

$\qquad \qquad \large \rm e^{i\pi} =isin(\pi) + cos(\pi)$

$\qquad \qquad \large \rm e^{i\pi} =-1$

Veja aqui, podemos concluir que e^{iπ} é igual a - 1, resolvemos para ver o que acontece se a identidade de adicionarmos 1:

$\qquad \qquad \large \rm e^{i\pi}+1 =0$

Então, concluímos que a identidade de Euler é calculada desta forma :D

Exercícios resolvidos pela identidade de Euler:

• https://brainly.com.br/tarefa/18415949
• https://brainly.com.br/tarefa/50239350