Question

3 - (CEFET/PE-2007) Diofante de Alexandria viveu por volta do 3º século A.C., sendo
considerado o "pai da Álgebra". Dele é a solução de diversos problemas interessantes. Por
exemplo, determinar dois números, cuja soma seja 10 e a soma de seus cubos seja 370
Diante das opções abaixo, qual é o maior de tais números?
a) 9,0
b) 8,4
c) 7.0
d) 6,7
e) 7.2​

Answer 1

$\mathsf{(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$

$\mathsf{10^2=x^2+y^2+2xy}\\\mathsf{100=x^2+y^2+2xy}\\\mathsf{x^2+y^2=100-2xy}\\\mathsf{x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)}\\\mathsf{(x+y)(100-2xy-xy)=x^3+y^3}\\\mathsf{10(100-3xy)=370}$

$\mathsf{100-3xy=\dfrac{370}{10}}\\\mathsf{100-3xy=37}$

$\mathsf{3xy=100-37}\\\mathsf{3xy=63}\\\mathsf{xy=\dfrac{63}{3}}\\\mathsf{xy=21}$

Montando um sistema temos:

$\begin{cases}\mathsf{x+y=10}\\\mathsf{xy=21}\end{cases}$

Dois números que somados dão 10 e multiplicados dão 21 são 3 e 7 pois 3•7=21 3+7=10

Portanto o maior dos números é 7

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\maltese~~alternativa~~c}}}}}$

$\dotfill$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/22746001

Answer 2

De acordo com o enunciado temos:

"...dois números, cuja soma seja 10..."

X + Y = 10

"...a soma de seus cubos seja 370..."

X³ + Y³ = 370

Logo ficamos com o seguinte sistema:

X + Y = 10              i

X³ + Y³ = 370         ii

método da substituicao - isolemos X de i:

X + Y = 10  ⇒  X = 10 - Y     coloquemos isso em ii

X³ + Y³ = 370

(10 - Y)³ + Y³ = 370

sabemos que (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, entao

[10³ - 3.10².Y + 3.10.Y² - Y³] + Y³ = 370

1000 - 300Y + 30Y² - Y³ + Y³ = 370

1000 - 300Y + 30Y² = 370

1000 - 300Y + 30Y² - 370 = 0    (eq. 2º grau)

30Y² - 300Y + 630 = 0  (dividamos tudo (1º e 2º membro) por 30)

Y² - 10Y + 21 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau chegamos em:

Y' = 7 e Y'' = 3

Foi dito que X + Y = 10

SE Y = 7, entao X = 3

SE Y = 3, entao X = 7

Logo concluímos que o maior desses numeros é o 7