Question

3. calcule o determinante de cada uma das matrizes

Quais regularidades você percebeu em relação matrizes e seus determinantes?
Escreva uma matriz genérica 3 x 3 com a mesma caracteristica das anteriores e verifique se essa regularidade é uma regra geral.

Answer 1

$\Large\text{ \underline{\sf Ol\acute{a}{,}\ bom\ dia!} }$

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$\large\underline{\sf Matrizes\ 3x3.}$

$\large\underline{\sf Regra\ de\ Sarrus.}$

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  Vou tentar te explicar tudo sobre matrizes apenas nessa resposta, espero que entenda perfeitamente, caso tenha qualquer tipo de dúvida sobre, me procure. Vamos lá!

Vou começar pela definição de matrizes, em seguida vou lhe mostrar tudo o que você precisa saber sobre matrizes, depois irei te dizer como resolver matrizes de ordem 2x2, depois matrizes de ordem 3x3

( DEFINIÇÃO DE MATRIZ )  

✎Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas (aij) onde; "i" indica a linha do elemento (aij) "j" indica sua coluna.

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( MATRIZ TRANSPOSTA )  

✎ A matriz transposta é a matriz: $\sf A^t$ , para calcular tal matriz devemos alterar a primeira linha e transformá-la em primeira coluna, depois segunda linha e transformá-la em segunda coluna, e por aí vai...

( SOMA DE MATRIZES )  

✎ para somar matrizes deve-se somar o primeiro termo de matriz pelo primeiro termo da outra matriz, em seguida o segundo termo da primeira matriz pelo segundo termo da segunda matriz, e assim vai...

( SUBTRAÇÃO DE MATRIZES )  

✎ para subtrair matrizes deve-se subtrair o primeiro termo de matriz pelo primeiro termo da outra matriz, em seguida o segundo termo da primeira matriz pelo segundo termo da segunda matriz, e assim vai... exatamente igual a soma de matrizes, mas invés de somar deve-se subtrair.

( MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES )  

✎ Para que possamos multiplicar uma matriz devemos multiplicar a 1ª linha e 1ª coluna, depois devemos multiplicar a 1ª linha e 2ª coluna, depois devemos multiplicar a 2ª linha e 1ª coluna, e por fim devemos multiplicar a 2ª linha e 2ª coluna.

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( Matrizes 2x2 )

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Para calcular o determinante de uma matriz 2x2, devemos multiplicar os termos da diagonal principal e em seguida subtrair pela multiplicação dos termos da diagonal secundária. Eu sei que entender assim é meio complicado... por isso preparei um exemplo aleatório sobre matrizes 2x2. Vamos lá!

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( EXEMPLO ):

$\left(\begin{array}{ccc}1&2\\3&4\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}\boxed{1}&\boxed{2}\\\boxed{3}&\boxed{4}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}\boxed{1}&\boxed{2}\\\boxed{3}&\boxed{4}\end{array}\right) \Leftrightarrow 1\cdot 4-( 2\cdot 3)\Leftrightarrow 4-6=> \boxed{-2}$

( Matrizes 3x3 )

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Para calcular uma matriz de ordem 3x3, devemos aplicar a famosa regra de Sarrus, a regra de Sarrus consiste em copiar as duas primeiras colunas e colar no final na matriz, depois de ter feito isso devemos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal, após ter feito isso agora devemos subtrair pela multiplicação dos termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal secundária. Eu sei que entender assim é meio complicado... por isso preparei um exemplo aleatório sobre matrizes 3x3. Vamos lá! :)

      $\Downarrow \Downarrow$

( EXEMPLO ):

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \Leftrightarrow\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\7&8\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\7&8\end{array}\right|$

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$\sf DP= 1\cdot 5\cdot 9 + 2\cdot 6\cdot 7 + 3\cdot 4\cdot 8$

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \Leftrightarrow\left|\begin{array}{ccc}1&2&3}\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\7&8\end{array}\right|$

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$\sf DS= 7\cdot 5\cdot 3+ 8\cdot 6\cdot 1+ 9\cdot 4\cdot 2$

Subtraindo DP com DS:

$\sf 1\cdot 5\cdot 9 + 2\cdot 6\cdot 7 + 3\cdot 4\cdot 8- (7\cdot 5\cdot 3+ 8\cdot 6\cdot 1+ 9\cdot 4\cdot 2)$

$\sf 45 + 84 + 96-105- 48- 72$

$\sf 225- 225$

$\sf Det= 0$

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Suas questões:

( A. ):

$\sf A=\left|\begin{array}{ccc}-1&2&4\\0&0&0\\5&3&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}-1&2\\0&0\\5&3\end{array}\right|$

(-1)*0*1+ 2*0*5+4*0*3 - (5*0*4 + 3*0*(-1) + 1*0*2 )

0+0+0 -0 - 0 - 0

= 0

( B. ):

$\sf B=\left|\begin{array}{ccc}0&0&0\\-3&-2&1\\4&2&3\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}0&0\\-3&-2\\4&2\end{array}\right|$

0*(-2)*3 + 0*1*4 + 0*(-3)*2 - ( 4*(-2)*0 + 2*1*0 + 0*(-3)*3

0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0

= 0

( C. ):

$\sf C=\left|\begin{array}{ccc}-1&-1&2\\3&3&4\\0&0&0\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-1&-1\\3&3\\0&0\end{array}\right|$

(-1)*3*0+(-1)*4*0+2*3*0-(0*3*2+0*4*(-1)+0*3*(-1)

0+0+0-0-0-0

= 0

• Comprovamos então que todas as matrizes dadas tem o determinante igual a 0.