Question

3) Calcule a integral de linha ∫c (2x + y) dx - (x - 4xy) dy. Sendo C o círculo x² + y² = 1, percorrido uma vez no sentido anti- horário. Use teorema de Green.

da = r dr dθ
0≤ r ≤ 1
0≤ θ ≤ 2π

x = r cos θ
y = r sen θ

Veja anexo:

Answer 1

$\\ \begin{enumerate} \\ \\Novamente, como temos apenas componente "X" e "Y" no campo \\ \\ \item Teremos: \\ \\ Rot(F) = (dfy/dx - dfx/dy )k \\ \\ Rot(F) = (-(1 - 4y) - ( 1 ) )k \\ \\ Rot(F) = (4y -2)k = 2(2y -1)k \\ \\ Com isso, ficaremos: \\ \\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 2(2y-1)rdrd \beta \\ \\ Mas, \, y = rsen( \beta ) \\ \\ \therefore$

$\\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 2(2rsen \beta -1)rdrd \beta \\ \\ = 2 \cdot\displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 \displaystyle\int\limits^{1 }_0 (2r^2sen \beta -r)drd \beta \\ \\ =2 \cdot\displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 (2 \cdot \frac{r^3}{3} \cdot Sen( \beta ) - \frac{r^2}{2} ) \left \right|_{0}^{1} d \beta \\ \\ = \displaystyle\int\limits^{2 \pi }_0 ( \frac{4}{3} \cdot Sen( \beta ) - 1 )d \beta$

$\\ = - \frac{4Cos( \beta )}{3} - \beta |_{0}^{2 \pi } \\ \\ = - \frac{4}{3} - 2 \pi - ( - \frac{4}{3} - 2 \pi ) \\ \\ = 0$