Question

3) Calcule a área da região limitada pelas funções y = x2 e x2 = 18 – y. Esboce o
gráfico da função e identifique área a ser calculada.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{72~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região delimitada pelas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo $[a,~b]$. Sua área pode ser calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

O elemento de área deve estar de acordo com o Teorema de Fubini. A ordem de integração leva em conta os limites de cada função, podendo assumir duas formas: $dA=dy\,dx$ e $dA=dx\,dy$.

Lembre-se que a a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos. Consideremos o elemento de área como: $dA=dy\,dx$.

Primeiro, deve-se esboçar o gráfico das funções. Geralmente, os limites de integração compreende os pontos limitados pelos pontos de intersecção das funções, mas pode ser pedido um intervalo diferente pelo enunciado.

A área desta região, considerando que em todo este intervalo, $f(x)>g(x)$ , é dada por: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$.

Sejam as funções $y=x^2$ e $x^2=18-y$. Isolando $y$ na segunda função, obtemos: $y=18-x^2$.

Devemos igualar as funções para encontrarmos seus pontos de intersecção.

$x^2=18-x^2$

Some $x^2$ em ambos os lados da equação

$2x^2=18$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x^2=9$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$x=\pm~3$

Dessa forma, nossos limites de integração são $-3\leq x\leq 3$.

Ao esboçarmos os gráficos das funções e analisarmos seus comportamentos no intervalo desejado, percebe-se que em todo o intervalo, $18-x^2>x^2$.

Assim, a área da região será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_{-3}^3\int_{x^2}^{18-x^2}\,dy\,dx$

Lembre-se que:

• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado (que podem ser funções de outra variável), é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.
• A integral de uma potência é calculada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.

Sabendo que $\displaystyle{\int\,dy=\int y^0\,dy$, calcule a integral mais interna:

$\displaystyle{\int_{-3}^3y~\biggr|_{x^2}^{18-x^2}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-3}^318-x^2-x^2\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-3}^318-2x^2\,dx$

Calcule a integral, utilizando a regra da soma e da potência:

$18x-\dfrac{2x^3}{3}~\biggr|_{-3}^3$

Aplique os limites de integração

$18\cdot3-\dfrac{2\cdot3^3}{3}-\left(18\cdot(-3)-\dfrac{2\cdot(-3)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$54-18-(-54+18)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$54-18+54-18$

Some os valores

$72$

Esta é a área da região limitada por estas funções.

Veja a imagem em anexo: as funções foram esboçadas no plano cartesiano. Em azul, temos a função $y=18-x^2$  e em vermelho a função $y=x^2$. Em laranja, temos a área que foi calculada.