Question

3) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores ⃗ = (1, −2,1)
e = (−2,1, + 1).
RESP.: m = 0 ou m = -18

Answer 1

Bom, temos os seguintes dados:
Ф = 120°.
u=(1,-2,1)
v=(-2,1,m+1)
m = ?

De acordo com a fórmula dada para calculo de ângulos de vetores, temos: cos Ф  = u . v / |u| . |v|

Vamos calcular separadamente:
1º) Vamos para o produto escalar u . v
 u . v = (1,-2,1). (-2,1,m+1)
           = ( 1·(-2)) + -2·1 + 1·(m+1))
           = ( -2 + (-2) + m +1)
           = -2 - 2 + m + 1
           = m - 3

2º) Agora o módulo de u (1,-2,1)
|u| = √x² + y² + z²
    = √(1)² + (-2)² + (1)²
    = √1 + 4 + 1 = √6

3º) Módulo de v (-2,1,m+1)
|v| = √x² + y² + z²
    = √(-2)² + (1)² + (m+1)²
    = √4 + 1 + m² + 2m + 1
    = √m² + 2m + 6

⇒ Substituímos os valores na equação do ângulo.

Cos Ф  = u . v / |u| . |v|
cos 120° = (m - 3) / √6·√m² + 2m + 6
-1/2 = (m - 3) / √6·√m² + 2m + 6
(Multiplicando "cruzado")
2 (m - 3) = - (√6·√m² + 2m + 6)
2m - 6 = - √6m² + 12m + 36
(Eleva os dois lados da igualdade ao quadrado)
(2m - 6)² = - (√6m² + 12m + 36)²
4m² - 24m + 36 = 6m² + 12m + 36
4m² - 6m² - 24m - 12m + 36 - 36 = 0
-2m² - 36m = 0 ·(-1)
2m² + 36m = 0
(Coloca o -2m em evidencia)
-2m (m + 18) = 0
Então:
-2m = 0         ou         m + 18 = 0
m = 0/2                     m = -18
m = 0

Portanto temos que m' = 0 e m'' = -18