Question

3)Calcular a distância do ponto (6,5,5) à reta { x = 2 − 3t y = −1 + 3t z = −2 + 6t

Answer 1

Resposta:

$d(P,r)=\sqrt{\frac{175}{3} }$ = aproxi ~7,64

Explicação passo-a-passo:

r: $\left[\begin{array}{ccc}x=2-3t\\y=-1+3t\\z=-2+6t\end{array}\right]$   Reta na forma paramétrica

Por este sistema consigo escrever a reta em sua forma vetorial, Assim obtenho o Vetor Diretor:

$r:(x,y,z)=(2,-1,-2)+(-3,3,6)*t$  , t ∈ R

Vetor Diretor v=(-3,3,6)

o ponto A=(2,-1,-2)∈ r

e B ∈ R, B=(-1,2,4)   (usei t= 1 )

Tome o vetor AP = P -- A = (6,5,5) -- (2,-1,-2)

AP=(4,6,7)

AB= B -- A = (-1,2,4) -- (2,-1,-2)

AB=(-3,3,6)

Para calcular a altura, lembre-se que o módulo do produto Vetorial fornece a área do triângulo formado pela reta Pelos pontos A,B e P. (observe que A e B estão sobre a reta r).

$d(P,r)=\frac{||APXv||}{||AB||}$

$||APXv||=||\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&6&7\\-3&3&6\end{array}\right] ||$

Calculando este determinante e tirando o módulo:

$||APXv||=||(15,-45,30)||\\\\||APXv||=\sqrt{3150}$

$||AB||=||(-3,3,6)||=(\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}+6^{2}}\\\\||AB||=\sqrt{54}$

$d(P,r)=\frac{\sqrt{3150} }{\sqrt{54} } \\d(P,r)=\sqrt{\frac{175}{3} }$