Question

3) As transformadas de Laplace, dentre outras aplicações, podem ser empregadas na resolução de problemas de valor inicial (PVIS) associados a equações diferenciais ordinárias. Para o caso dos
problemas com equações diferenciais de segunda ordem são consideradas as seguintes expressões:
{{y') = s£{y} - y0)
L{y') = sºl[y- syO - yo
Nesse sentido, seja o problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem definido por:
(y" - y - 2y=0
yo) = 1
y'0) = 0
Empregando as transformadas de Laplace para a resolução do problema, assinale a alternativa que indica corretamente a solução que pode ser obtida para o PVI apresentado:
Alternativas:
a) y(t)=-+--e
b) y(t) = - + et
c) y(t) = 2e +e-2
d) y(t) = -3
e) y(t) = - +
min
e
Non
03
MA!
A
x P
RE
a​

Answer 1

A solução obtida para o PVI é -(1/3).(-2.e^2t - e^-t) + (1/3)(e^-t - e^2t).

Cada termo da equação diferencial pode ser transformado utilizando as expressões:

L{y} = Y(s)

L{y'} = s.Y(s) - y(0)

L{y''} = s².Y(s) - s.y(0) - y'(0)

Utilizando as equações acima, temos que:

L{y'' - y - 2y = 0} = L{y''} - L{y'} - 2.L{y} = 0

s².Y(s) - s.1 - 0 - (s.Y(s) - 1) - 2.Y(s) = 0

Colocando Y(s) em evidência, temos:

Y(s)(s² - s - 2) = s - 1

Y(s) = (s - 1)/(s² - s - 2)

Y(s) = (s - 1)/(s + 1)(s - 2)

Y(s) = s/(s + 1)(s - 2) - 1/(s + 1)(s - 2)

y(t) = 1/(-2 - 1) . (-2.e^2t - e^-t) - [1/(-2 - 1) . (e^-t - e^2t)]

y(t) = -(1/3).(-2.e^2t - e^-t) + (1/3)(e^-t - e^2t)

Answer 2

Resposta:

y(t) = 2/3e^-t + 1/3e^2t

Explicação passo-a-passo: