3: As funções de custo e receita de uma empresa são respectivamente
C(q) = q
3 – 10q
2 + 1156q e R(q) = −4q
3 + 16q
2 + 5000q, onde a
variável "q" representa a quantidade de unidades do produto fabricado pela
empresa e as funções Receita e o Custo são representadas em unidades
monetárias, por exemplo reais (R$). Determine o que se pede:
a) (0,4pontos) A função Lucro;
b) (0,4 pontos) O(s) ponto(s) crítico(s) da função lucro;
c) (0,4 pontos) O(s) ponto(s) máximo(s) e mínimo(s) locais da função lucro;
d) (0,4 pontos) Apresente um esboço do gráfico da função lucro.
Soluções para a tarefa
a) A função lucro é L(q) = -5q³ + 26q² + 3844.
b) Os pontos críticos são q = 0 e q = 52/15.
c) O ponto de máximo é q = 52/15 e o ponto de mínimo é q = 0.
d) O esboço do gráfico está em anexo.
A função Lucro é dada pela função Receita menos a função Custo, como segue:
L(q) = R(q) - C(q)
L(q) = -4q³ + 16q² + 5000q - (q³ - 10q² + 1156q)
L(q) = -5q³ + 26q² + 3844
O ponto crítico de uma função ocorre quando a primeira derivada da mesma for igual a zero. Logo:
L'(q) = -15q² + 52q = 0
q' = 0
q'' = 52/15
Para sabermos se os pontos críticos são pontos de máximo ou mínimo, devemos derivar novamente a função:
L''(q) = -30q + 52
Agora, vamos substituir os pontos críticos nessa segunda derivada:
L''(0) = 52
L''(52/15) = -104 + 52 = -52
Quando temos um resultado negativo, temos um ponto de máximo local e quando temos um resultado positivo, temos um minimo local.
Espero ter ajudado!
