Question

3 - Analisar as situações abaixo e corresponder de acordo com o tipo de problema apresentado.
a) Formar filas, com 5 pessoas.
b) Formar pares, escolhidos dentre 10 pessoas.
c) Formar números de 3 algarismos distintos, escolhidos dentre 4.
d) Formar equipes de 3 pessoas, escolhidas dentre 4.
4 — Formar as combinações das letras a, b, c, d tomadas duas a duas.
5 — Formar os arranjos das letras a, b, c, d tomadas duas a duas.
6 — Formar as combinações dos algarismos 2, 4, 6 e 8 tomados três a três.
7 — Formar os arranjos dos algarismos 2, 4, 6, e 8 tomados três a três.

Answer 1

3-

a) arranjo simples:

5.4.3.2.1 = 120

b) Combinação, jogar na fórmula:

C = n! / p! (n-p) !

n.p

C= 10! / 2! (8!)

C= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 / 2.1 (8.7.6.5.4.3.2.1)

aqui podemos cortar o 8 fatorial com o 8 em diante do 10 fatorial, ficando:

10.9 / 2.1 =

90/2= 45 pares

C) arranjo simples

4.3.2 = 24

D) combinação, jogar na formula:

C = n! / p! (n-p) !

n.p

C= 4! / 3! (1!)

C= 4.3.2.1 / 3.2.1 (1)

aqui podemos cortar o 3 fatorial com o 3 em diante do 4 fatorial, ficando:

4 / 1! =

4/1 =

4

4) Jogar na formula de combinação:

C = n! / p! (n-p) !

n.p

C= 4! / 2! (2!)

C= 4.3.2.1 / 2.1 (2!)

aqui podemos cortar um dos 2 fatoriais com o 2 em diante no 4 fatorial, ficando:

C= 4.3 /2.1

C= 12/ 2

6

5) arranjo simples

4.3 = 12

6) formula de combinação:

C = n! / p! (n-p) !

n.p

C= 4! / 3! (1!)

C= 4.3.2.1 / 3.2.1

aqui podemos cortar o 3 fatorial com o 3 em diante do 4 fatorial, ficando:

4 / 1! =

4 / 1=

4

7) arranjo simples

4.3.2= 24

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Answer 2

Em matemática, a Combinatória é a área dedicada ao estudo de técnicas e métodos que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Entre alguns problemas clássicos relacionados, estão os que envolvem permutações, arranjos e combinações.

A fim de analisar cada questão proposta, a resolução será dada em etapas.

(3)

  a) Formar filas, com 5 pessoas.

   Um dos problemas mais básicos de contagem está associado a determinar o número de possibilidades de colocar $n$ objetos distintos em fila.

   De fato, tendo $n$ objetos, teremos possibilidades para ocupar o primeiro lugar da fila, $n-1$ para ocupar o segundo, $n-2$ para ocupar o terceiro, e assim segue.

   Com isso, usando das ideias relacionadas ao princípio multiplicativo, o número de maneiras de colocar  $n$ objetos distintos em fila é dado por:

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Problemas como este são classificados como problemas de permutação.

  b) Formar pares, escolhidos dentre 10 pessoas.

    Nesse caso, a tomada é diferente. Aqui o objetivo é calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos. Problemas como este são classificados como problemas de combinação. Nesse caso, as combinações simples são calculadas com a seguinte expressão:

$C_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)! k!}$

É importante observar que os grupos aqui formados só se diferenciam pela natureza dos seus elementos e não pela ordem.

  c) Formar números de 3 algarismos distintos, escolhidos dentre 4.

    Aqui temos mais um tipo de problema. Observe que agora os grupos formados além de se diferenciam pela natureza dos seus elementos, também se diferenciam pela ordem. Problemas como este são classificados como problemas de arranjo simples. Para calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos onde a ordem importa, fazemos:

$A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

  d) Formar equipes de 3 pessoas, escolhidas dentre 4.

   Aqui tem-se um problema semelhante ao item b). Observe que uma equipe não se altera trocando a ordem dos integrantes.

Com isso, este problema também pode ser classificado como problema de combinação.

$\dotfill$

(4) Nesta tarefa, formar combinações das letras é calcular quantos são os subconjuntos de 2 elementos dentro do grupo de 4 elementos onde a ordem não importa.

São estas as combinações possíveis: ab, ac, ad, bc, bd e cd.

Observe que poderíamos calcular fazendo,

$C_{2}^{4}=\frac{4!}{(4-2)! 2!}=\frac{24}{(2)! 2!}=6$

$\dotfill$

(5) Neste exercício, formar arranjos das letras é calcular quantos são os subconjuntos de 2 elementos dentro do grupo de 4 elementos onde, agora, a ordem importa.

É fácil agora imaginar que teremos mais subconjuntos: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd e dc.

Este número pode ser calculado como:

$A_{2}^{4}=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{24}{(2)! }=12$

$\dotfill$

(6) Listando todas as combinações possíveis:

246, 248, 268 e 468.

Usando a fórmula para calcular este número de possibilidades:

$C_{3}^{4}=\frac{4!}{(4-3)! 3!}=\frac{24}{(1)! 6}=4$

$\dotfill$

(7) Listando todas os arranjos possíveis:

246, 264, 462, 426, 642, 624,

248, 284, 428, 482, 824, 842

268, 286, 682, 628, 826, 862

468, 486, 648, 684, 846, 864

Usando a fórmula para calcular este número de possibilidades:

$A_{3}^{4}=\frac{4!}{(4-3)! }=\frac{24}{(1)!}=24$

$\dotfill$

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