Question

3) A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área
cultivada.
Produção de grãos (tonelada)
Municipio A
Municipio B
Feijão
54
50
Soja
171
170
Arroz
75
80
a) Calcule o desvio padrão da distribuição da produção em cada município.
b) Em qual dos dois municípios a distribuição da produção dos três tipos de grãos foi menos
dispersa? Justifique sua resposta.

Answer 1

Temos a seguinte tabela:

$\sf produc \tilde{a}o \: de \: gr \tilde{a}os \: (toneladas) \\ \boxed{\begin{array}{c|c |c} & \sf Munic\acute{i}pio \: \: A & \sf Munic\acute{i}pio B \\ \sf Feij\tilde{a}o& \sf54 & \sf50 \\ \sf Soja& \sf171 & \sf170 \\ \sf Arroz& \sf75& \sf80\end{array}}$

A partir dessa tabela, a questão nos faz duas perguntas, são elas:

• a) Calcule o desvio padrão da distribuição da produção em cada município.

Primeiramente vamos lembrar que para calcular o desvio padrão, devemos usar a seguinte fórmula:

$\boxed{s = \sqrt{ \frac{1}{n - 1}. \sum _{i = 1}^{n} (x _i - \overline{ x}) {}^{2}} }$

Aquele "x" com uma barra representa a média dos valores, ou seja, para calcularmos o desvio teremos antes que encontrar a média de A e B. A média é igual a soma de todos os termos dividida pela quantidade de termos envolvidos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \overline{x } = \frac{1}{n} . \sum_{i = 1}^{n} x _i}$

Calculando a média a partir dessa relação:

$\sf \ast \: M \acute{e}dia \: do\: Munic\acute{i}pio \: A \\ \overline{x} = \frac{1}{n} . \sum_{i = 1}^{n} x _i \longrightarrow \overline{x} = \frac{1}{3} .(54 +171 + 75) \longrightarrow \overline{x} = 100 \\ \\ \sf \ast M \acute{e}dia \: do \: Munic\acute{i}pio \: B \\ \overline{x} = \frac{1}{n} . \sum_{i = 1}^{n} x _i \longrightarrow \overline{x} = \frac{1}{3} .(50 +170+ 80) \longrightarrow \overline{x} = 100$

Tendo calculado a média, vamos substituir os dados dentro da relação do desvio padrão. (Lembre-se que xi corresponde aos termos).

$\sf\ast \: Desvio \: do \: Munic\acute{i}pio \: A\\ s = \sqrt{ \frac{1}{3 - 1}. \left((54 - 100) {}^{2} + (171 - 100 ) {}^{2} + (75 - 100) {}^{2} \right) } \\ \boxed{ s \approx62 ,37} \\ \sf\ast \: Desvio \: do \: Munic\acute{i}pio \: B \\ s = \sqrt{ \frac{1}{3 - 1}((50 - 100) {}^{2} + (170 - 100) {}^{2} + (80 - 100) {}^{2} ) ) } \\ \boxed{ s \approx62 ,44}$

Pronto, respondemos a primeira pergunta.

• b) Em qual dos dois municípios a distribuição da produção dos três tipos de grãos foi menos dispersa? Justifique sua resposta.

Se você observar o desvio padrão que mede a dispersão, eles possuíram quase o mesmo valor, com isso poderíamos dizer que nem houve uma grande diferença na dispersão de um para outro. Mas se levarmos essa pequena diferença em consideração, diríamos então que o Município A teve uma menor dispersão comparada a dispersão do Município B.

Espero ter ajudado