3. A receita e o custo de uma empresa que produz "x" unidades de determinado bem são dados, respectivamente, pelas equações: R(x) = 6000 x – x 2 e C(x) = x 2 – 2000 x + 6400. Nessas condições: a) Determine o nível de produção para que o lucro seja máximo. b) Encontre o lucro máximo correspondente a este nível. c) Para quantas unidades produzidas: I - a Receita será positiva? II - a Receita será negativa?
Soluções para a tarefa
(a) O nível de produção para que o lucro seja máximo 2100 unidades.
(b) O lucro máximo correspondente a este nível é R$8.813.600.
(c) A receita é positiva para x < 6400 e negativa para x > 6400.
A função lucro é dada pela diferença entre as funções receita e custo, logo:
L(x) = R(x) - C(x)
A função custo é dada por C(x) = x² - 2000x + 6400.
A função receita é dada por R(x) = 6400x - x².
A função lucro é:
L(x) = 6400x - x² - (x² - 2000x + 6400)
L(x) = -2x² + 8400x - 6400
a) O valor máximo da função está no vértice, devemos encontrar o valor da coordenada x do vértice:
xv = -b/2a
xv = -(8400/2·(-2))
xv = 2100
b) Devemos encontrar o valor da coordenada y do vértice:
yv = -Δ/4a
Δ = 8400² - 4·(-2)·(-6400)
Δ = 70.508.800
yv = -70.508.800/-8
yv = 8.813.600
c) A receita é positiva quando R(x) > 0, então:
R(x) > 0
6400x - x² > 0
6400x > x²
x < 6400
A receita é negativa quando R(x) < 0, então:
R(x) < 0
6400x - x² < 0
6400x < x²
x > 6400