Question

3 A figura ao lado é composta por um pentágono regular interno, cinco triângulos
equiláteros e cinco triângulos não equiláteros. Calcule a medida a do ângulo assi-
nalado na figura. Deixe registrado seu raciocinio.

Answer 1

Resposta: 24°

Explicação passo-a-passo:

A fórmula para calcular os ângulos internos de um polígono regular é:  

            $Ai = \frac{(n - 2) . 180}{ n }$

(Ai = ângulos internos; n = lados)

Sendo assim, a conta para calcular os ângulos internos dos dois pentágonos seria:

$Ai = \frac{(5 - 2) . 180 }{5}$

$Ai = (3. 180) / 5\\Ai = 540 / 5\\Ai = 108°$

Agora que já sabemos os valores dos ângulos dos pentágonos, vamos calcular os dos triângulos:

Sabendo que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é 180°:

Triângulo equilátero (rosa): $180° / 3 = 60°$

Todos os seus lados medem 60°.

Triângulo isósceles (roxo): podemos formar um ângulo de 360° juntando o ângulo de 108° do pentágono rosa, os ângulos de 60° dos dois triângulos equiláteros que estão em volta, e o ângulo superior do triângulo isósceles.

Assim:

$360 = 108 + 2. 60 + x \\360 - 108 - 120 = x\\ 132° = x$

O ângulo superior mede 132°.

Agora para descobrir os dois ângulos da base:

$x = 180 - 132\\x = 48°\\48/2 = 24°$

Pronto, agora podemos concluir que o valor de α é 24°.