Question

3. A equação da circunferência que passa pelo ponto A = (0; 2) e é tangente na origem a reta r y + 2x = 0, é:

Answer 1

Vamos fazer alguma considerações:

1ª Consideraçã:

 A circunferência passa pelos pontos (0, 2) e pela origem (0, 0). Portanto, o ponto central da circunferência é equidistante desses dois pontos.

Podemos definir um reta de pontos equidistantes desses dois ponto, para isso, vamos determinar uma reta perpendicular à reta que passa pelos dois pontos e essa reta perpendicular deve passa pelo ponto médio entre (0, 2) e (0, 0).

Podemos ver facilmente que o ponto médio entre os pontos (0, 0) e (0, 2) é
o ponto (0, 1).

Tambem, podemo ver claramente que a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (0, 2) é o próprio eixo "y", denotada pela equação x = 0.

Assim, um reta perpendicular ao eixo "y" que passa pelo ponto médio (0, 1) é a uma reta paralela ao exio "x" na altura "y = 1".

Portanto, percebemos que o centro da curcunferênci pertence a essa reta "y = 1", logo, temos que a ordenada do centro da circunferência é igual a "1".

2ª Consideração:

Como a circunferência é tangente à reta "y + 2x = 0" no ponto (0, 0) também podemos concluir que o ponto central da circunferência pertence a uma reta perpendicular à reta tangente dada e que essa reta perpendicular passa pelo ponto (0, 0).

Pela equação da reta tangente à circunferência, temos que:

y + 2x = 0
y = -2x

Portanto, o coeficiente angular dessa reta tangente é igual a "-2".

Um reta perpendicular a essa reta tangentes terá coeficiente angular igual a "1/2" e como essa reta perpendicular passa pela origem (0, 0), o coeficiente linear dessa reta perpendicular será "0". Assim, a reta perpendiclar à reta tangente que passa pela origem é dada pela equação:

y = x/2



Assim, temos que o centro da circunferência pertence tanto a reta "y = 1" da 1ª consideração como à reta "y = x/2" da 2ª consideração. Portanto a intersecção dessas retas (ou a solução do sistema) nos dá as coordenadas do ponto central da circunferência.

Pela primeira equação, temos que:

y = 1

Sabendo que "y = 1", vamos substituir o "y" da segunda equação por "1" para determinar o valor de "x"

y = x/2
1 = x / 2
1 * 2 = x
x = 2

Portanto, temos que:

Xc = 2
Yc = 1
onde Xc e Yc são as coordenadas do centro da circunferência.

Logo, o centro da circunferência é o ponto (2, 1)



Agora, conhecendo as coordenadas do centro da circunferência e sabendo que a circunferêncis possui o ponto (0, 0), podemos determinar o raio dessa circunferência pela distância de entre os pontos (2, 1) e (0, 0). Assim temos que:

r² = Δx² + Δy² 
r² = (2 - 0)² + (1 - 0)²
r² = 2² + 1²
r² = 4 + 1
r² = 5

Portanto, temos que o quadrado do raio da circunferência é igual a 5.



Portanto, sabendo que o centro da circunferência está no ponto (2, 1) e que o quadrado do raio vale 5, podemos determinar a equação da circunferência como segue.

(x - Xc)² + (y - Yc)² = r²
(x - 2)² + (y - 1)² = 5

Portanto, a equação "(x - 2)² + (y - 1)² = 5" é a equação da circunferência procurada.