Question

3.24 O campo de velocidades de um escoamento bidimensional é dado por vx= 3+2xy+4t², vy= xy²+3t. Determinar os módulos da velocidade e aceleração no ponto (2;1) no instante t=5s

Answer 1

Esse é apenas um caso de substituição para achar o módulo da velocidade e para achar a aceleração, devemos apenas derivar as componentes Vx e Vy do vetor velocidade (V), já que a derivada da velocidade em função do tempo é a aceleração em função do tempo. As coordenadas são em função do tempo.
O ponto = (2;1) = (x;y) = (x(5);y(5)) 

Vamos derivar para facilitar depois.
Vx (t) = 3+2*x(t)*y(t)+4*t²
Vx'(t) = ax(t) = 2*(x'(t))*(y(t))+2*(x(t))*(y'(t))+8*t

Vy (t) = x(t)*y(t)²+3t
Vy (t) = ay(t) = x'(t)*y(t)²+x(t)*2*y(t)*y'(t)+3

Obs: 
x'(t) é quando a coordenada x varia com o tempo, ou seja, a velocidade no tempo t=5s que é vx(5).
y'(t) é quando a coordenada y varia com o tempo, ou seja, a velocidade no tempo t=5s que é vy(5).

Calculando as coordenadas da velocidade.
Vx (5) = 3+2*x(5)*y(5)+4*(5)²
Vx (5) = 3+2*2*1+4*25
Vx (5) = 3+4+100
Vx (5) = 107 m/s

Vy (5) = x(t)*y(t)²+3t
Vy (5) = 2*1²+3*(5)
Vy (5) = 2 + 15
Vy (5) = 17 m/s

Módulo da velocidade → V = $\sqrt{(Vx)^{2}+(Vy)^{2} }$ = $\sqrt{(107)^{2}+(17)^{2} }$ = 108,3 m/s

Calculando as coordenadas da aceleração:
ax(t) = 2*(x'(t))*(y(t))+2*(x(t))*(y'(t))+8*t
ax(5) = 2*Vx(5)*(y(5))+2*(x(5))*Vy(5)+8*5
ax(5) = 2*107*1+2*2*17+8*5
ax(5) = 214+68+40
ax(5) = 322 m/s²

ay(t) = x'(t)*y(t)²+x(t)*2*y(t)*y'(t)+3
ay(5) = Vx(5)*(y(5))²+x(5)*2*y(5)*Vy(5)+3
ay(5) = 107*(1)²+2*2*1*17+3
ay(5) = 107+68+3
ay(5) = 178 m/s²

Módulo da aceleração → a = $\sqrt{(ax)^{2}+(ay)^{2} }$ = $\sqrt{(322)^{2}+(178)^{2} }$ = 367,9 m/s²