Question

3) (2,5 pontos) Sabendo-se que x² - 6x + m > 0 , ∀ x Є ℝ determine m

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Kobolds, esta mesma questão já havíamos resolvido para o usuário Wskzin. Então vamos apenas transcrever a nossa resposta que demos àquele usuário. Lá vai a transcrição:

"Vamos lá.

i) Pede-se para determinar "m" para que a função abaixo seja positiva (> 0) para qualquer que seja o valor de "x" real:

x² - 6x + m > 0

ii) Agora veja isto e NUNCA mais esqueça: uma equação do 2º grau poderá ter o seu delta (b²-4ac) positivo ou negativo. Quando o seu delta é positivo há as hipóteses de a função ter duas raízes reais e diferentes ou duas raízes reais e ambas iguais. E, nesses casos, o sinal da função variará conforme as suas raízes.
Mas há o caso em que uma função do 2º grau tem o seu delta (b² - 4ac) negativo e, nesses casos, a função NÃO terá raízes reais. E assim - e só nesses casos - a função "f" terá o seguinte comportamento:

- Será sempre positiva se o termo "a" for positivo (o termo "a" em equações do 2º grau é o coeficiente de x²)
- Será sempre negativa se o termo "a" for negativo.

iii) Visto esses rápidos prolegômenos acima, então vamos responder à sua questão, que é determinar o valor de "m" para que a função abaixo seja SEMPRE positiva para qualquer que venha a ser o valor real de "x":

x² - 6x + m > 0

Veja: como o termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²), então basta que imponhamos que a função acima não tenha raízes reais. E para não ter raízes reais deveremos impor que o delta (b²-4ac) da função acima seja negativo (menor do que zero). Note que o delta da função acima será este: (-6)² - 4*1*m . Logo, vamos impor que ele seja negativo pra que a função não tenha raízes reais. Assim:

(-6)² - 4*1*m < 0 ----- desenvolvendo, teremos:
36 - 4m < 0 ----- passando "36" para o 2º membro, teremos:
- 4m < - 36 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era "<" passa pra ">" e vice-versa):

4m > 36
m > 36/4
m > 9 ---- Esta é a resposta. Ou seja, para que a função dada seja sempre positiva para qualquer que venha a ser o valor real "x", então "m" deverá ser maior do que "9".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir."

Pronto. A transcrição é a que demos aí em cima. Note que a questão é exatamente igual. Por isso só fizemos transcrever a nossa resposta dada àquele usuário para responder à sua questão, que é idêntica à dele.

OK?
Adjemir.