3.1
Considere as dizimas periódicas a seguir e encontre a fração geratriz correspondente a
cada uma delas:
a) 0,3333...
b) 0,444...
c) 0,313131...
d) 1,5555...
e) 0,2777...
f) 1,136136...
me ajudem pfv
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 3/9
b) 4/9
c) 31/99
d) 14/9
e) 25/90
f) 135/99
A fração geratriz correspondente a cada uma das dízimas periódicas apresentadas é:
a) 0,3333... = 1/3
b) 0,444... = 4/9
c) 0,313131... = 31/99
d) 1,5555... = 14/9
e) 0,2777... = 5/18
f) 1,136136... = 1135/999
Em matemática, fração geratriz de um decimal é a fração que gera o decimal quando dividimos o numerador dessa fração pelo seu denominador.
Para encontrar tal fração, devemos observar atentamente o decimal em questão a cada item. Observe, primeiro, que todos itens trazem dízimas periódicas. Ou seja, decimais infinitos periódicos.
A resolução que apresentarei passa pelas ideias de equação. Pode ser que você já tenha visto de outra forma. Vejamos:
(a) 0,3333...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 0,333...
Observe que o período dessa dízima é 3. Logo, o período é composto de uma casa somente. Multiplicando a equação acima por 10:
10x = 3,333...
Agora, subtraindo as duas equações (a de baixo menos a de cima):
10x = 3,333...
- x = 0,333...
--------------------------------
9x = 3
e,
x = 1/3
Logo, a fração geratriz do decimal 0,3333... é 1/3.
(b) 0,444...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 0,444...
Observe que o período dessa dízima é 4. Logo, o período é composto de uma casa somente. Multiplicando a equação acima por 10:
10x = 4,444...
Agora, subtraindo as duas equações:
10x = 4,444...
- x = 0,444...
--------------------------------
9x = 4
e,
x = 4/9 (forma simplificada)
Logo, a fração geratriz do decimal 0,444... é 4/9.
(b) 0,444...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 0,444...
Observe que o período dessa dízima é 4. Logo, o período é composto de uma casa somente. Multiplicando a equação acima por 10:
10x = 4,444...
Agora, subtraindo as duas equações:
10x = 4,444...
- x = 0,444...
--------------------------------
9x = 4
e,
x = 4/9
Logo, a fração geratriz do decimal 0,444... é 4/9.
(c) 0,313131...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 0,313131...
Observe que o período dessa dízima é 31. Logo, o período é composto de duas casas. Multiplicando a equação acima por 100:
100x = 31,3131...
Agora, subtraindo as duas equações:
100x = 31,3131...
- x = 0,313131...
--------------------------------
99x = 31
e,
x = 31/99
Logo, a fração geratriz do decimal 0,313131... é 31/99.
(d) 1,5555...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 1,5555...
Observe que o período dessa dízima é 5. Logo, o período é composto de uma casa. Multiplicando a equação acima por 10:
10x = 15,555...
Agora, subtraindo as duas equações:
10x = 15,555...
- x = 1,5555...
--------------------------------
9x = 14
e,
x = 14/9
Logo, a fração geratriz do decimal 1,5555.... é 14/9.
(e) 0,2777...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 0,2777...
Observe que o período dessa dízima é 7. Logo, o período é composto de uma casa. Contudo, existe uma casa após a vírgula que não faz parte do período. Multiplicando a equação acima por 10 e por 100:
10x = 2,777...
100x = 27,77...
Agora, subtraindo as duas equações:
100x = 27,77...
- 10x = 2,777...
--------------------------------
90x = 25
e,
x = 5/18 (forma simplificada)
Logo, a fração geratriz do decimal 0,2777... é 5/18.
(f) 1,136136...
Seja x a fração procurada. Logo:
x = 1,136136...
Observe que o período dessa dízima é 136. Logo, o período é composto de três casas. Multiplicando a equação acima por 1000:
1000x = 1136,136...
Agora, subtraindo as duas equações:
1000x = 1136,136...
- x = 1,136136...
--------------------------------
999x = 1135
e,
x = 1135/999 (forma simplificada)
Logo, a fração geratriz do decimal 1,136136... é 1135/999.
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