Question

2x1-4x2-2x3=0
-5x1+x2+x3=0
7x1-5x2-3x3=0

quais os valores de x1? x2? x3?

Answer 1

$\begin{cases}2x_{1}-4x_{2}-2x_{3}=0\\-5x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\7x_{1}-5x_{2}-3x_{3}=0\end{cases}$

Escrevendo na forma matricial:

$\left[\begin{array}{cccc}~~2&-4&-2&~~~0\\-5&~~1&~~1&~~~0\\~~7&-5&-3&~~~0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}~~1&-2&-1&~~~0\\-5&~~1&~~1&~~~0\\~~7&-5&-3&~~~0\end{array}\right]~l_{2}\leftarrow l_{2}+5l_{1},~l_{3}\leftarrow l_{3}-7l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-1&~~~0\\0&-9&-4&~~~0\\0&~~9&~~4&~~~0\end{array}\right]~(l_{2}~descartada~pois~l_{2}=(-1)l_{3})$

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-1&~~~0\\0&~~9&~~4&~~~0\end{array}\right]~l_{3}\leftarrow(\frac{1}{9})l_{3}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-1&~~~0\\0&~~1&~~\frac{4}{9}&~~~0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow l_{1}+2l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&0&-\frac{1}{9}&~~~0\\0&1&~~\frac{4}{9}&~~~0\end{array}\right]$

x₃ é a variável livre do sistema. Parametrizando a solução por x₃:

$1x_{1}+0x_{2}-\dfrac{1}{9}x_{3}=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x_{1}=\dfrac{1}{9}x_{3}}}\\\\\\0x_{1}+1x_{2}+\dfrac{4}{9}x_{3}=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x_{2}=-\dfrac{4}{9}x_{3}}}$

Portanto, toda solução é da forma

$(x_{1},x_{2}.x_{3})=\left(\dfrac{1}{9}x_{3},-\dfrac{4}{9}x_{3},~x_{3}\right)=x_{3}\left(\dfrac{1}{9},-\dfrac{4}{9},~1\right)$

Portanto, o conjunto solução é o espaço gerado pelo vetor acima

$S=span\{\left(\dfrac{1}{9},-\dfrac{4}{9},~1\right)\}$

Como o espaço gerado por um vetor é o espaço gerado por qualquer múltiplo (não-nulo) dele:

$\boxed{\boxed{S=span\{(1,-4,~9)\}}}$

Logo, todo múltiplo de (1,-4,9) é solução do sistema